Idéaux premiers totalement décomposés et sommes de Newton

Abstract

Soient K un corps de nombres et f ∈ K[X] un polynôme irréductible unitaire à coefficients dans l'anneau d'entiers O K de K. On se propose d'expliciter un critère effectif, en termes du groupe de Galois de f sur K et d'une suite récurrente linéaire associée à f , permettant parfois de caractériser les idéaux premiers de O K modulo lesquels f est totalement décomposé. Si α est une racine de f , ce critère fournit donc une caractérisation des idéaux premiers de O K qui sont totalement décomposés dans K(α). Il s'applique en particulier si le degré de f est au moins 4 et le groupe de Galois de f est le groupe symétrique ou le groupe alterné.