Images directes cohomologiques dans les catégories de modèles

Abstract

Images directes cohomologiques dans les catégories de modèlesDenis-Charles Cisinski RésuméCes notes sont consacrées à la construction des limites homotopiques, et plus généralement, des images directes cohomologiques dans une catégorie de modèles arbitraire admettant des petites limites projectives. En outre, la théorie des dérivateurs de Grothendieck est introduite, à la fois en tant que motivation pour l'étude de telles structures, et en tant qu'outil de démonstration.

Biset Functors as Module Mackey Functors and its Relation to Derivators

“…In fact, to any derivator on the 2-category of finite categories, we can associate a Mackey functor on S. This gives a way to construct biset functors from derivators (since the inclusion F k B ֒→ Mack k (S) is shown to have a left adjoint, as below). We remark also that the theory of derivators is of recent interest by several researchers, as seen in [7], [9].…”

Catégorie homotopique stable d’un site suspendu avec intervalle

“…Coins la sous-catégorie pleine de la catégorie des espaces topologiques formée des variétés topologiques à coins, c'est-à-dire des espaces topologiques séparés et à base dénombrable admettant un recouvrement par des ouverts homéomorphes à des ouverts d'espaces topologiques de la forme 9) . Les espaces topologiques appartenant à Coins sont localement contractiles.…”

“…, le site Coins devient un site avec intervalle ; la proposition suivante nous sera très utile : (9) On peut remarquer qu'il suffit de prendre q ∈ {0, 1} puisque R 2 + est homéomorphe à R × R + . Ainsi, je pourrais aussi bien parler de variétés topologiques à bord, mais je préfère parler de « coins » puisque cela rend plus fidèlement compte de la forme des simplexes.…”

“…-On peut interpréter le théorème 3.2 à la lumière de la théorie des dérivateurs initiée par A. Grothendieck. D'après [9], on sait qu'à une catégorie de modèles C satisfaisant certaines conditions techniques supplémentaires, on peut associer un dérivateur D C : on considère simultanément les catégories D C (I ) pour toute petite catégorie I (et leur fonctorialité), où D C (I ) est ici la catégorie homotopique de la catégorie des foncteurs I → C munie d'une structure de catégorie de modèles convenable. Dans [23], G. Maltsiniotis définit une structure triangulée sur D(•) si D est un dérivateur satisfaisant certaines conditions, ainsi, le théorème 3.2 peut presqu'être vu comme un cas particulier de cette construction au niveau des dérivateurs.…”

Representations of spaces

“…These derived functors (the homotopy colimits and the homotopy left Kan extensions) are related to each other by various properties. At a 2-categorical level this has been formalized by Cisinski in [3] and amounts to saying that the prederivator associated to any model category is a Grothendieck derivator. The same applies to right model approximations.…”