Improved Approximation Algorithms for Inventory Problems

Abstract

We give new approximation algorithms for the submodular joint replenishment problem and the inventory routing problem, using an iterative rounding approach. In both problems, we are given a set of N items and a discrete time horizon of T days in which given demands for the items must be satisfied. Ordering a set of items incurs a cost according to a set function, with properties depending on the problem under consideration. Demand for an item at time t can be satisfied by an order on any day prior to t, but a holding cost is charged for storing the items during the intermediate period; the goal is to minimize the sum of the ordering and holding cost.Our approximation factor for both problems is O(log log min(N, T )); this improves exponentially on the previous best results.

Joint replenishment meets scheduling

“…Levi et al [22] give a 2-appoximation algorithm, and the approximation ratio is reduced to 1.8 by Levi and Sviridenko [23], see also Levi et al [21]. Cheung et al [13] describe approximation algorithms for several variants under the assumption that the ordering cost function is a monotonically increasing, submodular function over the item types, see also Bosman and Olver [9].…”

Algoritmos de aproximação para problemas de estoque e roteirização

“…Para a versão mais geral do Tree JRP, o primeiro algoritmo de aproximação com fator constante foi obtido pela própria 3-aproximação de Cheung et al comentada anteriormente. Logo em seguida, Pedrosa [60] [23], é desenvolvido um algoritmo de aproximação que resolve a mesma versão do IRP explorada por Nagarajan e Shi (resolvendo consequentemente o SJRP) com um fator de O(log log min (N, T )), exponencialmente melhor que a antiga O( log T log log T )-aproximação obtida por Nagarajan e Shi. Para obter esse resultado, eles utilizaram a mesma formulação que Nagarajan e Shi, mas associada com um problema chamado Submodular Cover Over Time, reduzindo o IRP para esse problema e desenvolvendo um algoritmo de arredondamento de PL aleatório a partir dele.…”

“…Nesta dissertação, estudamos o Inventory Routing Problem sob a perspectiva de algoritmos de aproximação. Observamos que a literatura para este problema é muito reduzida na área de algoritmos de aproximação, resumindo-se a aproximações sub-logarítmicas para a versão mais geral do IRP [59,23] e algumas aproximações constantes para simplificações do IRP, mais especificamente, para uma versão periódica do IRP [40], para o SIRPFL [44,25] e para o Tree JRP [30]. Uma questão em aberto para o IRP tradicional é se ele admite aproximação com fator constante, ou se a análise do algoritmo sub-logarítmico do melhor resultado encontrado é justa.…”

“…Atualmente, não são conhecidos algoritmos de aproximação com fator constante para as versões mais gerais do IRP, que consideram os custos das entregas a partir de uma função do conjunto de clientes envolvidos na entrega, e não se sabe se essas versões do IRP admitem aproximação com fator constante. Entre os resultados conhecidos, temos aproximações com fatores sub-logarítmicos para a versão do IRP que considera um único depósito, vários clientes e cujas funções de custo de entrega são submodulares ou equivalentes ao custo de um rota de comprimento mínimo do conjunto de clientes atendidos [59,23]. Por causa disso, estudos recentes voltaram-se para casos particulares do IRP, logrando algoritmos de aproximação com fatores constantes para essas versões.…”