Inertia groups and abelian surfaces

Abstract

This paper classifies the finite groups that occur as inertia groups associated to abelian surfaces. These groups can be viewed as Galois groups for the smallest totally ramified extension over which an abelian surface over a local field acquires semistable reduction. The results extend earlier elliptic curves results of Serre and Kraus.

A uniform bound for the order of monodromy

“…If X is an abelian surface, Silverberg and Zarhin [7] determine all the groups in the similar way that we discussed in the end of section 2. They show that these group appear as the inertia group of an abelian surface.…”

Variétés abéliennes CM et grosse monodromie finie sauvage

“…Le groupe de monodromie finie de A est alors défini comme le groupe de Galois de cette extension. Dans le cas où A est une variété abélienne sur un corps de nombres K, on obtient par cette construction pour chaque place non archimédienne v de K un groupe de monodromie finie en v de A, que l'on note Φ A,v , qui représente l'obstruction locale à la semi-stabilité de A. Ces groupes sont ensuite étudiés par Silverberg et Zarhin dans [SZ1] et [SZ2]. Dans [SZ1], il est montré que le cardinal d'un groupe de monodromie finie Φ A,v divise le ppcm des cardinaux des sous-groupes finis de GL 2g (Q) où g est la dimension de A. Ce ppcm, que l'on note M (2g), est calculé par Minkowski en 1887 et est appelé borne de Minkowski.…”

“…On a Card SL 2 (F 3 ) = M (2) = 24. La liste des groupes de monodromie finie pour les surfaces abéliennes fait l'objet de [SZ2]. Plus précisément ils établissent une liste de groupes finis telle que toute surface abélienne sur un corps de nombres ou local prend ses groupes de monodromie finie dans la liste.…”

“…La construction des variétés abéliennes de l'énoncé du théorème 1.1 se fait par une adaptation aux corps de nombres des techniques de [SZ2] qui sont utilisées dans le cas de corps locaux d'égales caractéristiques p. Précisément on construit ces variétés abéliennes comme formes tordues de variétés abéliennes avec multiplication complexe (CM). Pour cela on effectue deux généralisations du théorème 4.3 de torsion de [SZ2], l'une aux corps de nombres et l'autre avec des hypothèses réduites, qui permettent de construire des variétés abéliennes avec des groupes de monodromie finie prescrits. Pour déduire de ces théorèmes le résultat principal on a besoin d'une part de l'existence de variétés abéliennes avec des gros groupes d'automorphismes et d'autre part de l'existence d'extensions galoisiennes de corps de nombres avec des gros groupes d'inertie en des places choisies.…”

“…La partie 3 est consacrée aux résultats d'arithmétique des corps de nombres nécessaires pour appliquer les théorèmes de torsion. On commence pour cela de manière analogue à [SZ2] en établissant l'existence d'extensions locales pour des p-groupes prescrits. On résout ensuite des problèmes de Grunwald pour des produits en couronne de la forme Z/p m Z ≀ S n .…”