Inexact Newton Methods for singular problems

Abstract

Dedicated to Professor C.G. Broyden on the occasion of his 60th birthday.In this paper we describe the effects of an inexact implementation of Newton's method on the behavior of the iteration for certain nonlinear equations in Banach space for which the Frechet derivative is singular at the solution. We give a termination criterion for the inner iteration that preserves not only the q-linear convergence of the Newton iterates but also the fine structure required for an acceleratlion method.

Modification of the Newton method for nonlinear singular problems

“…Kelley, Z.Q. Xue), [30], pokazali su daće netačni Njutnov postupak konvergirati u istoj oblasti kao i Njutnov postupak, dokće se red konvergencije smanjiti i postati linearan.…”

“…Xue), izvršili su u [30] modifikaciju netačnog Njutnovog postupka, koristeći jednu meduiteraciju. Za dato σ k koje zavisi od trenutne iteracije…”

“…Kao i u slučaju fiksnog Njutnovog postupka, evidentna je brža konvergencija po komponenti koja odgovara prostoru X . U poslednjoj koloni obe tabele dat je količnik (4.1) za koji je u [30] pokazano da teži ka…”

“…Optimalne vrednosti ovih parametara nisu poznate. Za Njutnov metod poznato je da je M = 2, [31], dok je za metodŠamanskog M = 4, [30]. Pretpostavljamo da je za kvaziNjutnove metode konstanta M iz intervala M ∈ [2,4].…”

“…Predloženi dvokoračni postupci, po ugledu na postupke iz [31] i [30], zavise od tri parametra, M, C i α. Zaključeno je da parametar M ima najjači uticaj na konvergenciju postupka. Na nizu numeričkih primera je pokazano da vrednosti M koje su blizu 3.7 daju zadovoljavajuće rezultate.…”