Recebido em 10/10/00; aceito em 7/5/01
ASPECTS RELATED TO THE USE OF THE QUADRATIC LOGISTIC EQUATION IN ELECTROCHEMICAL PROCESSES.The concepts of dissipation and feedback are contained in the behavior of many natural dynamical systems. They have been used to predict the evolution of populations leading to the formulation of the quadratic logistic equation (QLE). More recently, the QLE has been used to provide a better understanding of physicochemical systems with promising results. Many physical, chemical and biological dynamic phenomena can be understood on the basis of the QLE and this work describes the main aspects of this equation and some recent applications, with emphasis on electrochemical systems. Also, it is illustrated the concept of potential energy as a convenient way of describing the stability of the fixed points of the QLE.Keywords:logistic equation; intercalation process; electrochemical systems; feedback.
INTRODUÇÃOUm dos problemas centrais em áreas como biologia, demografia e ecologia humana está relacionado à capacidade do ambiente em proporcionar condições de sobrevivência à determinada espécie. Nesse aspecto, Thomas Robert Malthus(1766 -1834) foi o primeiro a desenvolver uma teoria sobre o crescimento populacional humano relacionando-o à capacidade do ambiente em prover esse crescimento 1 . Sobre a importância do trabalho de Malthus pode-se citar, por exemplo, sua influência no desenvolvimento do conceito de seleção natural por Darwin, que representa o ponto de partida para toda toda a biologia evolucionária moderna e ecologia 2 . A idéia malthusiana do crescimento incontrolável de população sujeito apenas a restrições ambientais foi colocada em termos matemáticos por Verhulst 3 , que utilizou a equação de crescimento logístico no aumento populacional da França, Bélgica, Rússia e Inglaterra em 1838. Desde então, a equação de crescimento logístico ou equação logística quadrática (ELQ) vem sendo utilizada em modelos matemáticos aplicados a ecologia (principalmente na descrição de processos de crescimento populacional), relações presa-predador, interações competitivas, gerenciamento de fontes renováveis, evolução da resistência a pesticidas, controle ecológico de pestes, entre outros 4 . Considerando que características como não-linearidade, dissipação e retro-alimentação (feedback) em sistemas dinâmicos estão contidas na ELQ, sua utilização vem sendo recentemente descrita para a modelagem de processos físico-químicos como resposta de células a combustível com eletrólito polimérico 5,6 , transporte de cargas em filmes orgânicos -e inorgânicos 8 finos. Outro exemplo bastante ilustrativo da utilização da ELQ por analogia com sistemas biológicos trata da criação sucessiva de defeitos, como o processo de fotodegradação em semicondutores amorfos 10 . Particularmente considerando as aplicações de filmes eletroativos em, por exemplo, baterias secundárias, dispositivos eletrocrômicos e sensores 11-16 se fazem necessárias investigações a respeito dos mecanismos de transporte nesses filmes. Uma das maio...