Introduction to Graph-Link Theory

Abstract

The present paper is an introduction to a combinatorial theory arising as a natural generalisation of classical and virtual knot theory. There is a way to encode links by a class of 'realisable' graphs. When passing to generic graphs with the same equivalence relations we get 'graph-links'. On one hand graph-links generalise the notion of virtual link, on the other hand they do not feel link mutations. We define the Jones polynomial for graph-links and prove its invariance. We also prove some a generalisation of the Kauffman-Murasugi-Thistlethwaite theorem on 'minmal diagrams' for graph-links.

Оснащенные 4-Графы: Эйлеровы Циклы, Гауссовы Циклы И Поворачивающие Обходы

“…Эйлеров цикл, содержащий только негауссовы вершины, называется поворачивающим обходом (см. [1]- [3], [9], [10]). …”

“…[1]- [3]). Любые два оснащенных циклических слова с двойным вхождением, полученные из оснащенного 4-графа, связаны между собой последовательным применением операции оснащенная звездочка.…”

“…[1]- [3]). Любые два поворачивающих обхода, заданные с помощью оснащенных циклических слов с двойным вхождением, получают-ся друг из друга последовательностью следующих операций: оснащенная звез-дочка, примененная к негауссовым буквам с оснащением 1, и (((m * a) * b) * a), где m -оснащенное циклическое слово с двойным вхождением, a, b -негаус-совы буквы с оснащением 0, причем они чередуются в слове m, т.е.…”

“…Нетрудно видеть, что эйлеровы циклы первого типа не всегда существуют, и если они существуют, то среди них существует единственный, который называется гауссовым циклом, а эй-леровы циклы второго типа (поворачивающие обходы) существуют на любом связном оснащенном 4-графе и число их может быть больше 1 (см. [1]- [3]). Проекция узла имеет гауссов цикл, а проекция зацепления больше чем с одной компонентой не имеет гауссова цикла.…”

Гомологии Хованова Граф-Зацеплений

“…Введение 1.1. Граф-зацепления [1]- [3] представляют собой комбинаторный аналог виртуальных зацеплений. "Диаграммами" граф-зацеплений являются простые неориентированные помеченные графы, а сами граф-зацепления суть клас-сы эквивалентности графов по модулю формальных движений Рейдемейстера.…”