LA FORMULE DE PLANCHEREL POUR LES GROUPES p-ADIQUES. DAPRS HARISH-CHANDRA

Abstract

RésuméSoit G le groupe des points définis sur un corps p-adique d'un groupe réductif connexe. On définit l'espace des fonctions de Schwartz-Harish-Chandra sur G: ce sont des fonctions sur G,à valeurs complexes, qui vérifient des conditions de croissance et de lissité. La formule de Plancherel exprime les valeurs d'une telle fonction f en termes des opérateurs π(f ), où π parcourt l'ensemble des classes de représentations lisses irréductibles et tempérées de G. On démontre cette formule, ainsi que quelques résultats utiles d'analyse harmonique: l'existence du prolongement rationnel d'un opérateur d'entrelacement, la finitude (si G est semi-simple) de l'ensemble des classes de représentations lisses irréductibles de carré intégrable de G possédant un K-type donné. Tous ces résultats sont dusà HarishChandra, qui les a démontrés dans un manuscrit non publié. Le présent article est une rédaction de ce manuscrit. . La démonstration complète se trouve dans des notes manuscrites qui ne sont guère publiables en l'état. Il y a quelques années, L. Clozel et l'auteur avaient conçu le projet de publier ces notes. Ce projet ne s'est pas réalisé mais, des travaux préparatoires effectuésà cette occasion est resté le texte qui suit. Il s'agit d'une rédaction de la preuve dueà Harish-Chandra, fondée sur ce manuscrit impublié. Décrivons succintement cette formule de Plancherel. Soient F un corps local non archimédien, de corps résiduel fini. Par abus de notations, confondons les groupes algériques connexes définis sur F avec leurs groupes de points sur F . Soit G un groupe réductif connexe défini sur F . Une fonction de Schwartz-Harish-Chandra sur G est une fonction sur ce groupe,à valeurs complexes, qui vérifie certaines conditions de régularité https://www.cambridge.org/core/terms. https://doi

Conjectures about 𝑝-adic groups and their noncommutative geometry

“…The reduced C ⇤ -algebra C ⇤ r (G) is the completion of H(G) in the algebra of bounded linear operators on the Hilbert space L 2 (G). It follows from the work of Harish-Chandra (see [Vig,§10]) that the irreducible representations of C ⇤ r (G) can be identified with those of the Schwartz algebra of G. By [Wal,§III.7] the latter are the same as irreducible tempered G-representations. Thus we get (51) Irr(C ⇤ r (G)) = Irr temp (G), which means that C ⇤ r (G) is the correct C ⇤ -algebra to study the noncommutative geometry of the tempered dual of G. The structure of C ⇤ r (G) was described by means of the Fourier transform in [Ply].…”

On certain elements in the Bernstein center of 𝐆𝐋₂

“…The 2 in 2ds/s comes from the normalization of measures in [11] (see the last sentence of page 239 there), which [1] follows. We are also using that the various St λ,s are all pairwise distinct, and this well-known fact may be seen either from Langlands parametrization or the character of St λ,s , recalled later.…”

On the degrees of matrix coefficients of intertwining operators

“…(See [Waldspurger 2003, Section IV] for a self-contained treatment.) It is known that the matrix coefficients [Waldspurger 2003, IV.1.1] and that the degree of the denominator is bounded in terms of G only [Waldspurger 2003, IV.1.2]; see also [Shahidi 1981, Theorems 2.2.1, 2.2.2; Silberger 1979].…”

“…Fix a special maximal compact subgroup K 0 of G. For a maximal parabolic subgroup P = MU of G and a smooth irreducible representation π of M = M(F), we consider the family of induced representations I P (π, s), s ∈ ‫,ރ‬ which extend the fixed K 0 -representation I matrix coefficients of the linear operators M(s) K are rational functions of q −s , whose denominators can be controlled explicitly (see, e.g., [Waldspurger 2003, IV.1.1, IV.1.2]). In particular, their degrees are bounded independently of K and π.…”