Lifted generalized permutahedra and composition polynomials

Abstract

International audience We introduce a "lifting'' construction for generalized permutohedra, which turns an $n$-dimensional generalized permutahedron into an $(n+1)$-dimensional one. We prove that this construction gives rise to Stasheff's multiplihedron from homotopy theory, and to the more general "nestomultiplihedra,'' answering two questions of Devadoss and Forcey. We construct a subdivision of any lifted generalized permutahedron whose pieces are indexed by compositions. The volume of each piece is given by a polynomial whose combinatorial properties we investigate. We show how this "composition polynomial'' arises naturally in the polynomial interpolation of an exponential function. We prove that its coefficients are positive integers, and conjecture that they are unimodal. Nous introduisons une construction de "lifting'' (redressement) pour permutaèdres généralisés, qui transforme un permutaèdre généralisé de dimension $n$ en un de dimension $n+1$. Nous démontrons que cette construction conduit au multiplièdre de Stasheff à partir de la théorie d'homotopie, et aux "nestomultiplièdres", ce qui répond à deux questions de Devadoss et Forcey. Nous construisons une subdivision de n'importe quel permutaèdre généralisé dont les pièces sont indexées par compositions. La volume de chaque pièce est donnée par un polynôme dont nous recherchons les propriétés combinatoires. Nous montrons comment ce "polynôme de composition'' surgit naturellement dans l'interpolation d'une fonction exponentielle. Nous démontrons que ses coefficients sont strictement positifs, et nous conjecturons qu'ils sont unimodaux.