Linear growth for Châtelet surfaces

Browning, Tim

doi:10.1007/s00208-009-0383-z

Cited by 9 publications

(17 citation statements)

References 10 publications

Supporting

Mentioning

Contrasting

Unclassified

Order By: Relevance

“…Alors qu'une majoration générale par l'ordre de grandeur conjectural N P (B) B log B aété obtenue dans [9], l'examen de la forme précise (1.2) de la conjecture nécessite des approches distinctes en fonction des différentes factorisations possibles du polynôme P. Le cas où P est scindé est traité dans [5]. Celui où P possède un facteur cubique irréductible sur Q est résolu dans [4].…”

Section: Introductionunclassified

Sur la conjecture de Manin pour certaines surfaces de Châtelet

Bretèche¹,

Tenenbaum²

2013

J. Inst. Math. Jussieu

View full text Add to dashboard Cite

International audienceWe prove Manin's conjecture, in the strong form conjectured by Peyre, for Châtelet surfaces associated to surfaces of the type y^2 + z^2 = P (x, 1), where P is a binary quartic form with integer coefficients that is either irreducible over Q[i] or the product of two quadratic forms with integer coefficients and irreducible over Q[i]. Moreover, we provide an explicit upper bound for the remainder term in the relevant asymptotic formula. This essentially settles Manin's conjecture for all Châtelet surfaces. The proof rests on two new tools, namely upper bounds for mean values of local oscillations of characters on divisors and sharp upper estimates for mean values of arithmetic functions of binary forms. Pezzo surfaces of degree 4, count of lattice points over algebraic varieties, number of representations as a sum of two squares, method of descent.Nous démontrons , sous la forme forte conjecturée par Peyre, la conjecture de Manin pour les surfaces de Châtelet dont les équations sont du type y^2 + z^2 = P (x, 1), où P est une forme binaire quartique à coefficients entiers irréductible sur Q[i] ou produit de deux formes quadratiques à coefficients entiers irréductibles sur Q[i]. De plus, nous fournissons une estimation explicite du terme d'erreur de la formule asymptotique sous-jacente. Cela finalise essentiellement la validation de la conjecture de Manin pour l'ensemble des surfaces de Châtelet. La preuve s'appuie sur deux méthodes nouvelles, concernant, du part, les estimations en moyenne d'oscillations locales de caractères sur les diviseurs, et, d'autre part, les majorations de certaines fonctions arithmétiques de formes binaires. Mots clefs : Surfaces de Châtelet , conjecture de Manin, constante de Peyre, surfaces de del Pezzo de degré 4, comptage de points entiers sur des variétés algébriques , nombre de représentations comme somme de deux carrés , méthode de descente

show abstract

Section: Introductionunclassified

Sur la conjecture de Manin pour certaines surfaces de Châtelet

Bretèche¹,

Tenenbaum²

2013

J. Inst. Math. Jussieu

View full text Add to dashboard Cite

show abstract

“…However, the number of variables needed to make this argument work is extremely large, due to the use of a diagonalisation process which reduces the problem to the easier one of bounding Λ n (C) for a diagonal cubic form. Browning, Dietmann and Elliot [35] have recently shown that n 17 variables can be handled at the expense of replacing 25 6 by 36 × 10 4 in Pitman's estimate. This is improved to 1071 when C is non-singular and n = 17.…”

mentioning

confidence: 99%

Quantitative Arithmetic of Projective Varieties

Browning

2009

View full text Add to dashboard Cite

“…L'objet de cet article est de décrire la répartition des points rationnels sur les surfaces de Châtelet dans les cas où S a,F := S avec F produit de deux formes linéaires F 1 et F 2 non proportionnelles par une forme quadratique F 3 irréductible sur Q[i] et a = −1. Tous leś eléments quantà la géométrie de ces surfaces dont nous auront besoin ontété démontrés dans [15] et [16] et sont résumés dans [9] et [7] dans le cas où F est scindé. Ils s'adaptent au cas présent sans difficulté.…”

Section: Introductionunclassified

“…En particulier, le système linéaire anticanonique |ω où H 4 est une hauteur sur P 4 (Q) qui sera définie en section 6.1. Le rang du groupe de Picard de S vaut ici 2 [9] si bien que la conjecture de Manin prend la forme N(B) ∼ c S B log(B) pour une certaine constante c S > 0. Peyre [30] dans un premier temps, puis Batyrev et Tschinkel [1] dans un cadre plus général, ont proposé une expression conjecturale de la constante c S s'exprimant en termes d'une mesure de Tamagawa sur l'espace adélique associé a la surface S (voir aussi la formule empirique donnée par Peyre dans [31, formule 5.1]).…”

Section: Introductionunclassified

See 1 more Smart Citation

La conjecture de Manin pour certaines surfaces de Châtelet

Destagnol¹

2016

Acta Arith.

View full text Add to dashboard Cite

Abstract. -Following the line of attack from La Bretèche, Browning and Peyre, we prove Manin's conjecture in its strong form conjectured by Peyre for a family of Châtelet surfaces which are defined as minimal proper smooth models of affine surfaces of the form,] is a polynomial of degree 4 whose factorisation into irreducibles contains two non proportional linear factors and a quadratic factor which is irreducible over. This result deals with the last remaining case of Manin's conjecture for Châtelet surfaces with a = −1 and essentially settles Manin's conjecture for Châtelet surfaces with a < 0.

show abstract

Linear growth for Châtelet surfaces

Abstract: An upper bound of the expected order of magnitude is established for the number of Q-rational points of bounded height on Châtelet surfaces defined over Q.

Cited by 9 publications

References 10 publications

Sur la conjecture de Manin pour certaines surfaces de Châtelet

Sur la conjecture de Manin pour certaines surfaces de Châtelet

Quantitative Arithmetic of Projective Varieties

La conjecture de Manin pour certaines surfaces de Châtelet

Contact Info

Product

Resources

About