Liouville Foliation of Topological Billiards in the Minkowski Plane

Karginova, E. E.

doi:10.1007/s10958-021-05652-4

Cited by 4 publications

(1 citation statement)

References 15 publications

Supporting

Mentioning

Contrasting

Order By: Relevance

“…We mention briefly several new directions connected with the topology of integrable billiards. Dragović and Radnocić [127] and Karginova [128], [129] investigated integrable billiards in the plane with Minkowski metric that are also bounded by arcs of confocal quadrics. One can also add a central Hooke-type potential to this system preserving its integrability.…”

Section: Integrable Generalizations Of Planar Billiards and Billiard ...mentioning

confidence: 99%

Billiards and integrable systems

Fomenko,

Vedyushkina

2023

Russian Math. Surveys

View full text Add to dashboard Cite

The survey is devoted to the class of integrable Hamiltonian systems and the class of integrable billiard systems and to the recent results of the authors and their students on the problem of comparison of these classes from the point of view of leafwise homeomorphy of their Liouville foliations. The key tool here are billiards on piecewise planar CW-complexes - topological billiards and billiard books - introduced by Vedyushkina. A construction of the class of evolutionary (force) billiards, introduced recently by Fomenko, is presented, enabling one to model a system in several non-singular energy ranges by a single billiard system, and the use of this class for geodesic flows on two-dimensional surfaces and some systems in mechanics is demonstrated. Some other integrable generalizations of classical billiard systems, including billiards with potentials, billiards in magnetic fields, and billiards with slipping, are discussed. Billiard books with Hooke potentials glued of planar confocal or circular tables, model four-dimensional semilocal singularities of Liouville foliations for integrable systems that contain non-degenerate equilibria. Considering the intersections of several confocal quadrics in $\mathbb{R}^n$ results in a generalization of the Jacobi-Chasles theorem. Bibliography: 144 titles.

show abstract

Section: Integrable Generalizations Of Planar Billiards and Billiard ...mentioning

confidence: 99%

Billiards and integrable systems

Fomenko,

Vedyushkina

2023

Russian Math. Surveys

View full text Add to dashboard Cite

show abstract

Billiards and intergrable systems

Fomenko,

Vedyushkina

2023

Uspekhi Mat. Nauk

View full text Add to dashboard Cite

Обзор посвящен классу интегрируемых гамильтоновых систем и классу интегрируемых биллиардов, а также недавним результатам авторов и их учеников по задаче сравнения этих классов с точки зрения послойной гомеоморфности их слоений Лиувилля. Ключевым инструментом здесь оказались введенные В. В. Ведюшкиной биллиарды на кусочно-плоских CW-комплексах - топологические биллиарды и биллиардные книжки. Приведено построение класса эволюционных (силовых) биллиардов, введенных недавно А. Т. Фоменко и позволяющих моделировать систему сразу в нескольких неособых зонах энергии при помощи одного биллиарда, а также его применение для геодезических потоков на двумерных поверхностях и систем механики. Обсуждаются другие интегрируемые обобщения классического биллиарда, включая биллиарды с потенциалами, биллиарды в магнитном поле, биллиарды с проскальзыванием. Биллиардные книжки с потенциалом Гука, склеенные из плоских софокусных или круговых столов, моделируют четырехмерные полулокальные особенности слоений интегрируемых систем, содержащие невырожденные положения равновесия. Рассмотрение пересечения нескольких софокусных квадрик в $\mathbb{R}^n$ приводит к обобщению теоремы Якоби-Шаля. Библиография: 144 названия.

show abstract

Orbital invariants of billiards and linearly integrable geodesic flows

Belozerov,

Fomenko

2024

Математический сборник

View full text Add to dashboard Cite

Обнаружены и вычисляются траекторные инварианты интегрируемых топологических биллиардов с двумя степенями свободы при условии постоянства энергии системы. Инварианты (векторы вращения) вычисляются через функции вращения на однопараметрических семействах $2$-торов Лиувилля. Доказан аналог теоремы Лиувилля в окрестности регулярных слоев для кусочно гладких биллиардов. Введены переменные действие-угол. Получена общая формула для функций вращения. Гипотеза А. Т. Фоменко предполагала, что функции вращения топологических биллиардов монотонны. Для многих важных систем гипотеза подтвердилась, но обнаружились интересные биллиарды с немонотонными функциями вращения. В частности, вычислены траекторные инварианты биллиардов-книжек, реализующих (с точностью до лиувиллевой эквивалентности) линейно интегрируемые геодезические потоки двумерных поверхностей. При надлежащем изменении параметров потоков эти функции вращения становятся монотонными. Библиография: 45 названий.

show abstract

Liouville Foliation of Topological Billiards in the Minkowski Plane

Cited by 4 publications

References 15 publications

Billiards and integrable systems

Billiards and integrable systems

Billiards and intergrable systems

Orbital invariants of billiards and linearly integrable geodesic flows

Contact Info

Product

Resources

About