Mean values and classes of harmonic functions

Abstract

Let μ be a finite complex Borel measure supported on the unit circle.In this paper, we are concerned with the characterization of the sets of functions satisfying the generalized mean value equation of the form.and for all ξ ∈ , | ξ | = R for some fixed R > 0.

Functional equations involving means of functions on the complex plane

“…It follows that f ∈ C ∞ . Applying ∂ with respect to ζ at ζ = 0 to the identity (35) and using the formula (16) to infer that ∂{f (z + ω n ζ)} = ω n (∂f )(z + ω n ζ) we find that (…”

“…In particular in investigations of functions possessing certain mean value properties. See, e.g., the above references and Kakutani and Nagumo [15], Walsh [24], Aczél, Haruki, McKiernan and Sakovič [3], Ramsey and Weit [16], Chojnacki [6], Gajda [12], [13], Badora [5], and Förg-Rob and Schwaiger [10], [11]. The author has done the same inspired by the concept of spherical functions from the theory of group representations ( [17]- [22] and the survey paper [23]).…”

Analog of the mean-value theorem for polynomials of special form

“…One of the main directions of these investigations is the description of classes of functions that satisfy given integral equations that have a certain geometric sense. Among the results obtained, one should mention mean-value theorems that characterize harmonic polynomials [5], bianalytic functions [6], solutions of convolution equations with finite convolution, etc. (see [7]).…”

Теорема Бляшке-Привалова Для Полігармонічних Функцій.

“…Одним з основних напрямкiв в цих дослiдженнях є опис класiв функцiй, що задовольняють заданим iнтегральним рiвнянням, що мають певний геометричний сенс. Серед отриманих результатiв також можна вiдмiтити теореми про середнє, що характеризують гармонiчнi многочлени [15], бiаналiтичнi функцiї [16], розв'язки рiвнянь згортки з фiнiтним згортувачем та iншi (див. роботу [18]).…”

“…(див. [15]), де розглядається iнтеграл з нерiвномiрною мiрою. Аналог класичної теореми Гауса, що характеризує клас гармонiчних функцiй, вивчався також у роботах К. Iвасакi (див.…”