Mengenlehre über vorgegebenen algebraischen Systemen

Abstract

Auf der Grundlage gewisser EUKAsIEwICzscher Wahrheitsfunktionen hat KLAUA [7, 81 eine mehrwertige Mengenlehre beschrieben, fur die Meiigenkddungs-uiid Extensionalitatsprinzip analog zur klassischen Mengenlehre giiltig sind. I n der vorliegenden Arbeit wird eine Mengenlehre uber einem beliebig vorgegebenen algebraischen System konstruiert. Ihre mengenalgebraischen Eigenschaften werden mit Hilfe von modelltheoretischen uberlegungen studiert. MTir legen die von KLAUA [9] formulierte klassische Mengenlehre mit Element-und Stufenbeziehung zugrunde. Insbesondere sei I die unendljche Menge aller Urelemente und 0 die Klasse aller Ortlinalzahlen. I m folgenden sei Q = [L, k , f i , . . . , f m ] ein algebraisehes System tier Signatur c = [O, n l , . . . , nJ. Dies bedeutet, dalj 14: ein Element itus L ist und fi , . . , , f , entsprechend nl-, . . . , n,-stellige algebraische Operationen in L sind. ,, 1c 1' ' bezeichiie den Individuenbereich von 53. Definition 1. A , sei die durch folgende trcinsfinite Induktion erkliirte .Funktion: (1) A,(O) = 1; ( 2 ) A , ( a + 1) = A , (cx) U B, ( a ) , wobei B, (cx) die Menge uller F u n k f i o n e n y won A,(a) i n 12 I ist, f u r die es zu jedenz O 5 p < v. e i n v € A , ( a ) \ A , (p) gibt, so duJ y (v) + k ist; ( 3 ) A , ( ] , ) = IJ A , ( < ) , fulls a eine LimeszahZ ist. €3, = u A,(v.) sei die Klasse allcr Elemente iiber 2. lt'eiterhin s r i M , = E, \ I die Klasse uller Menyen uber Q. Definition 2. D i e Elementbeziehunyl uber 2 ist die Funktion e, v o n 33, x E, c<i C t O in 12 1, so duJ f u r beliebige a, b E E , gilt:

Universes of Fuzzy Sets and Axiomatizations of Fuzzy Set Theory. Part I: Model-Based and Axiomatic Approaches

“…Despite the fact that these considerations had been done for a finite subset of the real unit interval as membership degrees, it was essentially clear that these considerations could be done in a much more general context, as was indicated in a note by D. Schwartz [44].…”