Methoden der Potentialtheorie für Elliptische Differentialgleichungen Beliebiger Ordnung

Schulze, Bert-Wolfgang; Wildenhain, Günther

doi:10.1007/978-3-0348-5580-8

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“…Theorems of an ather type for the approximation of solutions of elliptic equations of arbitrary order are given by F. E. [5]. For B \ r connected the approximation in Wm-l(r) by potentials is studied in [9]. In [12] Theorem 1 have been proved in the case, that the boundary value problem only has the trivial solution.…”

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Uniform Approximation by Solutions of General Boundary Value Problems for Elliptic Equations of Arbitrary Order, II

Wildenhain

1983

Math. Nachr.

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1. Let L = a a ( x ) D d b 1 S m ( m > 0 an integer, a = (a1, ..., an), ai 2 0 integers, be a properly elliptic differential operator with real coefficients in Cw(Rn). Let Q c Rn be a bounded domain with a smooth boundary aQ and r a ( n -1)-dimensional, closed, smooth surface, which splits up the domain 9 in two parts Qi and Qa. On the boundary asd we consider a normal system B1, ..., B , of boundary operators with ord Bi = mi 5 2m -1 and smooth coefficients, which fulfils the classical roots condition (see [8], [9], [13]). We consider a fixed set c Qa and define LG(9) as the set of all solutions of the boundary value problem L u = g i n Q , Bj~laa 10 ( j = 1, ..., m ) , where g is an arbitrary function with g Cl(Q) (0 < ii < 1) and g 3 0 in Q \ a. Wm-l(I') denotes the BANAOH space of all WEIITNEY-TAYLOR fields g = (gm)rars,-l on I' with the norm Ilgllwm-~cr, = z SUP I9AX)lIalSrn-1 z U (1.1) Every continuous linear functional 1 on Wm-l(f) can be represented by means of a vector measure (,ua)IaILm-I (supp pa c I') in the form Q ) = z J ga(z) d~a ( x ) IalSm-1 f' (see [91). The mean subject of the present paper is the following Theorem 1. We suppose (i) The homogeneous DIRIUHLET problem of the equation Lu = 0 i n Oi has only the trivial solution. 15 Math. Nachr. Bd. 115

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“…the fundamental solution of the LAPLACE operator.) We choose a point yl E F with It is well-known (see [9]), that for an arbitrary nonnegative measure p with compact J BN(z, y) dp(z) < 00 9N-a.e. and consider y E Qa on the normal direction through yl.…”

Section: U L L M -1 Fmentioning

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Uniform Approximation by Solutions of General Boundary Value Problems for Elliptic Equations of Arbitrary Order, II

Wildenhain

1983

Math. Nachr.

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“…Bezuglich der Existenz des radialen Grenzwertes fur die in (6) definierten m-polyharmonischen *Funktionen kann folgender Satz bewiesen werden. .…”

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“…. , pm, Sr)( 2 ) far alle x E Q .4.Wir werden im folgenden einige Slitze angeben, die Aussagen uber das Randverhtllten der in(6) definierten verallgemeinerten PoIssoN-Integrale enthalten. Dazu definieren wir zunliohst den Begriff der symmetrischen Ableitung eines MaBes auf S' .…”

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Über das Randverhalten des POISSON‐Integrals der polyharmonischen Gleichung

Gonzáles

Keller

Wildenhain

1980

Mathematische Nachrichten

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1. Es ist hinreichend bekannt, welche bedeutende Rolle die PoIssoNsche Integralformel sowohl in der klassischen als auch in der modernen Potentialtheorie spielt. Im Hinblick auf das Anliegen der vorliegenden Arbeit sind insbesondere die folgenden Aussagen von Interesse. Eine innerhalb einer Kugel K,' cR" mit dem Nittelpunkt z und dem Radius r harmonische Funktion u liiBt sich genau dann mit Hilfe eines MaBes p mit dem Triiger auf dem Rande Si der Kugel in der Gestalt .'I (on Inhalt der n-dimensionalen Einheitskugeloberfliiche) als PoIssoN-Integral darsbllen, wenn sie die Differenz zweier positiver harmonischer Funktionen ist (Satz von HEROLOTZ). In der Literatur existieh ferner eine Fulle von Resultaten uber das Randverhalten des PoIssoN-lntegrals (1) in Abhiingigkeit von den Eigenschaften des MaBes p. E e r sind zum Beispiel der klwische Satz von FATOU und seine vielfiiltigen Verallgemeinerungen hervorzuheben. Der Satz von FATOU beinhaltet die Existenz eines nichttangentialen Grenzwertes fast uberall am Rande, falls p in der Gestalt d p = f ( y ) don($) (f eine beschriinkte und summierbare Funktion, On gewohnliches OberfliichenmaB auf Sz) gegeben ist. Fur den allgemeinen Fall kennt man zahlreiche daruber hinausgehende Aussagen uber die Existenz r a d i s h , nichttangentialer sowie tangentialer Grenzwerte (vgl. [2]). In [3] (vgl. auch [4], [5]) wurden diese Resultate teilweise auf biharmonische Funktionen verallgemeinert . Man geht hierzu analog von der Losungsdarstellung fur das DIRICHLET-Problem bei der biharmonischen Gleichung in der Kugel aus. Da eine solche Darstellungsformel auch fur den allgemeinen Fall der m-polyharmonischen Gleichung A h = 0 fur beliebiges m bekannt ist (vgl. [l], [S]), liegt es nahe, die Ergebnisse ebenfalls in der entsprechenden Allgemeinheit zu beweisen. Dies erweist sich auch als durchfuhrbar, jedoch mit betriichtlich hoherem technischen Aufwand. Im folgenden sollen die wichtigsten Resultate ohne Beweis mitgeteilt werden.

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“…This condition is sufficient for the proof of the existence result in L 2 loc (see Appendix A, Section 7). Necessary and sufficient conditions on the boundary for the existence of solutions to elliptic equations of the second (and higher) order for various boundary conditions, including the Neumann condition, in L p and W p,1 classes were given in [142,143] (see also [338,342,361,444], and Appendix A). The arguments in [480] depend crucially on the assumption that the boundary condition is homogeneous.…”

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2017

Scattering by Obstacles and Potentials

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