Métriques riemanniennes holomorphes en petite dimension

Abstract

Article mis en ligne dans le cadre du Centre de diffusion des revues académiques de mathématiques http://www.cedram.org/ MÉTRIQUES RIEMANNIENNES HOLOMORPHES EN PETITE DIMENSION par Sorin DUMITRESCU 1. Introduction. Une métrique riemannienne holomorphe sur une variété complexe est un champ holomorphe de formes quadratiques (complexes) non dégénérées sur le fibré holomorphe tangent à la variété. Il convient d'envisager une telle métrique comme l'analogue complexe d'une métrique pseudo-riemannienne. En effet, de manière analogue à la géométrie pseudo-riemannienne, à une métrique riemannienne holomorphe il est associé une unique connexion (holomorphe) de Levi-Civita, des courbes géodésiques (les géodésiques sont des courbes holomorphes dont le vecteur tangent est parallèle) et un tenseur de courbure. L'exemple canonique est la métrique (plate) q = dzf + dz2 + ... + dz 2 sur l'espace en. La métrique q est invariante par les translations et passe au quotient définissant une métrique holomorphe sur tout tore complexe de dimension n. Contrairement à la géométrie riemannienne réelle l'existence d'une métrique riemannienne holomorphe sur une variété complexe compacte n'est nullement assurée. Elle impose même des conditions très restrictives à la variété. Mots-clés : Variétés complexes-Métriques riemanniennes holomorphes-Théorie algébrique des invariants-Pseudo-groupe d'isométries locales. Classification math. : 53B21-53C56-53A55.

Homogénéité locale pour les métriques riemanniennes holomorphes en dimension 3

“…En particulier la métrique riemannienne holomorphe q est localement homogène sur un ouvert dense. Ce résultat présente déjà un progrès notable par rapport au théorème obtenu dans [8] où on avait seulement pu démon-trer que les orbites du pseudo-groupe des isométries locales forment ou bien un ouvert dense, ou bien sont les fibres d'une fibration sur une courbe de genre g 2. Le travail fait dans cette section élimine la deuxième alternative en précisant la structure de la fibration π. Remarquons pour finir que dans [8] les résultats sont énoncés seulement pour la métrique riemannienne holomorphe, mais il suffit de remplacer systématiquement dans la preuve le "s-jet de q" avec le "s-jet de la structure géométrique φ = (ψ, q)" pour obtenir les mêmes résultats avec φ = (ψ, q) à la place de q.…”

“…-Les arguments de [6], notamment le lemme 1 de la page 4, la proposition 3 de la section 3 et la preuve du cas 1 de la section 4 (page 15) s'appliquent sans aucune modification dès qu'on démontre que ANNALES DE L'INSTITUT FOURIER les formes α 1 et α 2 sont intégrables. L'intégrabilité a été montré dans la preuve du lemme 6.6 de [8].…”

“…Le temps t du flot géodésique du champ Z (défini le long de la fibre en m) envoie donc la fibre en m en un ensemble de points reliés par des isométries locales. Cet ensemble est contenu donc dans la même fibre de la fibration π : rappelons que la conclusion du théorème principal de [8] est précisément que les fibres de la fibration π sont les orbites du pseudo-groupe des isométries locales de ϕ. Le flot géodésique de Z réalise alors un isomorphisme entre la fibre en m et les fibres proches.…”

“…Un résultat similaire est démontré dans [8] pour les surfaces complexes compactes : seuls les tores complexes et leurs quotients finis admettent des métriques riemanniennnes holomorphes et ces métriques sont nécessaire-ment plates.…”

“…Nous démontrons ici le théorème suivant qui généralise et précise sous une forme optimale un premier résultat que nous avions obtenu dans [8]. Il convient de situer ce résultat dans le cadre de l'étude des structures géométriques rigides, dans le sens de M. Gromov, initié dans [11] (voir également l'exposé de survey [7] et [4]).…”