Minimal surfaces in Lorentzian Heisenberg group and Damek–Ricci spaces via the Weierstrass representation

Cintra, Adriana Araujo; Mercuri, Francesco; Onnis, Irene I.

doi:10.1016/j.geomphys.2017.08.005

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“…It should be said that this work has deep implications for the study of manifolds and their relationship with integrable systems in general [21][22][23][24]. It would be worth illustrating this more clearly as a way to conclude.…”

Section: Discussionmentioning

confidence: 99%

The Generalized Weierstrass System in Three-Dimensional Euclidean Space

Bracken¹

2019

Manifolds II - Theory and Applications

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In this chapter, some recent advances in the area of generalized Weierstrass representations will be given. This is an approach to the theory of surfaces in Euclidean three space. Weierstrass representations permit the explicit construction of surfaces in the designated space. The discussion proceeds in a novel and introductory manner. The inducing formulas for the coordinates of a surface are derived and important conservation laws are formulated. These lead to the inducing mechanism of a surface in terms of solutions to a system of two-dimensional Dirac equations. A set of fundamental forms as well as expressions for the mean and Gaussian curvatures are derived. The Cartan moving frame picture is also formulated to put everything in a broader perspective. A connection with the nonlinear sigma model is presented, which has important applications in physics. Some relationships are established between integrable systems and geometry by way of conclusion.

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Section: Discussionmentioning

confidence: 99%

The Generalized Weierstrass System in Three-Dimensional Euclidean Space

Bracken¹

2019

Manifolds II - Theory and Applications

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“…If one considers now Lorentzian metrics on H , Rahmani [21] showed that there are (up to homothety) three different choices of left-invariant metric (see Section 2 below), g 1 , g 2 and g 3 , according to whether the 1-dimensional center of the Lie algebra is spacelike, timelike or null in the metric. A classical Weierstrass-type representation exists for mean curvature zero surfaces in such spaces ( [18,6]), but the Weierstrass data need to satisfy non-trivial extra conditions; hence only simple examples of mean curvature zero surfaces in these manifolds have been given. For spacelike surfaces in the case of the metric g 2 (see [17] and the present article), and for timelike surfaces with the metric g 1 (see [15]), a relationship between harmonic maps and mean curvature zero surfaces, similar to the Riemannian case exists.…”

mentioning

confidence: 99%

Maximal surfaces in the Lorentzian Heisenberg group

Brander¹,

Kobayashi²

2023

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The 3-dimensional Heisenberg group can be equipped with three different types of left-invariant Lorentzian metric, according to whether the center of the Lie algebra is spacelike, timelike or null. Using the second of these types, we study spacelike surfaces of mean curvature zero. These surfaces with singularities are associated with harmonic maps into the 2-sphere. We show that the generic singularities are cuspidal edge, swallowtail and cuspidal cross-cap. We also give the loop group construction for these surfaces, and the criteria on the loop group potentials for the different generic singularities. Lastly, we solve the Cauchy problem for harmonic maps into the 2-sphere using loop groups, and use this to give a geometric characterization of the singularities. We use these results to prove that a regular spacelike maximal disc with null boundary must have at least two cuspidal cross-cap singularities on the boundary.

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“…No que segue, veremos alguns exemplos que seguem da aplicação do Teorema 4.2.1, que foram obtidos em [10].…”

Section: O Grupo De Heisenberg Lorentzianounclassified

“…Este último, por sua vez, pode ser reescrito usando duas funções (para)complexas oportunamente definidas para as superfícies de tipo espaço (de tipo tempo, respectivamente) imersas no grupo de Heisenberg Lorentziano tridimensional. Com isto, em [10], foi possível determinar novos exemplos de superfícies mínimas neste grupo de Lie, os quais foram descritos nas Secão 4.3.…”

unclassified

“…Como o caso Riemanniano já foi estudado no primeiro capítulo, nos ocuparemos apenas do caso Lorentziano e trataremos os casos das superfícies mínimas de tipo espaço e de tipo tempo ao mesmo tempo, em uma abordagem unificada. Para isto, no que segue, denotaremos por K os números complexos C, ou os números de Lorentz L. Além disto, nas Seções 4.3.1 e 4.3.2apresentaremos alguns resultados que foram obtidos no artigo[10], que são inerentes à construção de superfícies mínimas, de tipo espaço e de tipo tempo, no grupo de Heisenberg Lorentziano de dimensão três.…”

unclassified

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Representação de Weierstrass em variedades Riemannianas e Lorentzianas

Freire¹

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O Teorema de Representação de Weierstrass clássico, que faz uso da análise complexa para descrever uma superfície mínima imersa no espaço Euclidiano em termos de dados holomorfos, tem sido extremamente útil seja para construir novos exemplos de superfícies mínimas, seja para o estudo das propriedades destas superfícies. Em [24], usando a equação harmônica, os autores determinam uma fórmula de representação para superfícies mínimas, simplesmente conexas, imersas em uma variedade Riemanniana qualquer. Neste caso, a condição de holomorficidade dos dados de Weierstrass consiste em um sistema de equações diferenciais parciais com coeficientes não constantes. Logo, em geral, é complicado determinar soluções explícitas. No entanto, escolhendo adequadamente o espaço ambiente, tais equações se simplificam e a fórmula pode ser usada para produzir novos exemplos de imersões mínimas conformes. vi No espaço de Lorentz-Minkowski tridimensional uma fórmula de representação tipo-Weierstrass foi provada por Kobayashi, para o caso das imersões mínimas de tipo espaço (ver [18]), e por Konderak no caso das imersões mínimas de tipo tempo (ver [20]). Na demonstração destas fórmulas se utilizam as ferramentas da análise complexa e paracomplexa, respectivamente. Recentemente, em [22] os resultados de Kobayashi e Konderak foram generalizados para o caso de superfícies mínimas (de tipo espaço e de tipo tempo) imersas em 3-variedades Lorentzianas. Nesta dissertação estudaremos as fórmulas de representação de Weierstrass para superfícies mínimas imersas em variedades Riemannianas e Lorentzianas, que foram obtidas nos artigos [18], [20], [22] e [24].

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Minimal surfaces in Lorentzian Heisenberg group and Damek–Ricci spaces via the Weierstrass representation

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The Generalized Weierstrass System in Three-Dimensional Euclidean Space

The Generalized Weierstrass System in Three-Dimensional Euclidean Space

Maximal surfaces in the Lorentzian Heisenberg group

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