Multiple Eigenvalues of the Laplace Operator

Nadirashvili, Nikolaï

doi:10.1070/sm1988v061n01abeh003204

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“…-La démonstration de l'inégalité (1.7) reprend la technique de N. Nadirashvili [Nad88] avec les améliorations que permet le problème de Steklov. On fixe un entier k ≥ 1 et on note m la multiplicité de la k-ième valeur propre.…”

Section: Construction De Valeurs Propres Multiplesunclassified

Multiplicité du spectre de Steklov sur les surfaces et nombre chromatique

Jammes¹

2016

Pacific J. Math.

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Résumé. -Dans cet article, on démontre plusieurs résultats sur la multiplicité des premières valeurs propres de Steklov sur les surfaces compactes à bord. On améliore certaines bornes sur la multiplicité, en particulier pour la première valeur propre, et on montre qu'elles sont optimales sur plusieurs surfaces de petit genre. Dans un article précédent, on a défini un nouvel invariant chromatique des surfaces à bord et on a conjecturé qu'il est relié à la multiplicité de la première valeur propre de Steklov. Dans le present article on étudie cet invarianti et on confirme la conjecture dans les cas où la borne optimale est connue.Abstract. -In this article, we prove several results about the multiplicity of the first Steklov eigenvalues on compact surfaces with boundary. We improve some bounds on the multiplicity, especially for the first eigenvalue, and we prove they are sharp on some surfaces of small genus. In a previous article, we defined a new chromatic invariant of surfaces with boundary and conjectured that this invariant is related to the bound on the first eigenvalue. In the present article, we study this invariant, and prove that the conjecture is true when the known bound is sharp. IntroductionL'étude de la multiplicité des valeurs propres de Steklov a fait récemment l'objet des travaux [FS16], [Jam14], [KKP14]. Ces trois articles montrent que sur une surface compacte à bord donnée, la multiplicité de la k-ième valeur propre de Steklov est majorée en fonction de k et de la topologie (voir le paragraphe qui suit pour la définition du spectre de Steklov). Dans [Jam14], j'ai montré que ce phénomène est spécifique à la dimension 2 et qu'en dimension plus grande, on peut prescrire arbitrairement le début du spectre de Steklov, avec multiplicité. J'ai aussi conjecturé qu'en dimension 2, la multiplicité maximale de la première valeur propre non nulle est déterminée par un invariant topologique de même Classification mathématique par sujets (2000). -35P15, 58J50, 55A15, 57M15. Mots clefs. -spectre de Steklov, multiplicité de valeurs propres, nombre chromatique.

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Section: Construction De Valeurs Propres Multiplesunclassified

Multiplicité du spectre de Steklov sur les surfaces et nombre chromatique

Jammes¹

2016

Pacific J. Math.

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“…Cette majoration est aussi valable pour les opérateurs de Schrödinger et a été améliorée (voir [5], [18], [15]), le meilleur résultat connu pour la deuxième valeur propre des opérateurs de Schrödinger sur les surfaces de caractéristique d'Euler négative ayant été obtenu par B. Sévennec ( [20], [21]). Le théorème qui suit résume ces résultats, en notant m k (Σ) la multiplicité maximale de la k-ième valeur propre d'un opérateur de Schrödinger sur la surface Σ (c'est-à-dire la (k − 1)-ième valeur propre non nulle dans le cas du laplacien) :…”

Section: Opérateurs Sur Les Fonctionsunclassified

Sur la multiplicité des valeurs propres d’une variété compacte

Jammes¹

2008

Séminaire De Théorie Spectrale Et Géométrie

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“…En dimension 2, la majoration de Cheng, qui est aussi valable pour les opérateur de Schrödin-ger, a été améliorée (voir [Be80], [Na88], [HHN99]), la meilleure estimation pour la multiplicité de la 2 e valeur propre d'un opérateur de Schrödinger ayant été obtenue par B. Sévennec ([Sé94], [Sé02]). On sait aussi que pour les opérateurs avec champ magnétique, la multiplicité des valeurs propres peut être arbitrairement grande ([CdVT93], [BCC98], [Er02]).…”

Section: Introductionunclassified

Sur la multiplicité des valeurs propres du Laplacien de Witten

Jammes¹

2012

Trans. Amer. Math. Soc.

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Résumé.-Sur toute variété compacte de dimension supérieure ou égale à 4, on prescrit le volume et le début du spectre du laplacien de Witten agissant sur les p-formes différentielles pour 0 < p < n. En particulier, on prescrit la multiplicité des premières valeurs propres. Sur les variétés de dimension 3, on construit des exemples de première valeur propre multiple pour les 1-formes, dont la multiplicité dépend du genre maximal des surfaces immergées dont toute la 1-cohomologie est induite par la cohomologie de la variété. En particulier, cette multiplicité est au moins égale à 3.Mots-clefs : laplacien de Witten, formes différentielles, multiplicité de valeurs propres.Abstract.-On any compact manifold of dimension greater than 4, we prescribe the volume and any finite part of the spectrum of the Witten Laplacian acting on p-form for 0 < p < n. In particular, we prescribe the multiplicity of the first eigenvalues. On 3-dimensional manifolds, we give examples of multiple first eigenvalue for 1-forms, whose multiplicity depends on the maximal genus of embedded surfaces all of whose 1-cohomology is induced by the cohomology of the manifold. In particular, this multiplicity is at least 3.

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Multiple Eigenvalues of the Laplace Operator

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Multiplicité du spectre de Steklov sur les surfaces et nombre chromatique

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Sur la multiplicité des valeurs propres d’une variété compacte

Sur la multiplicité des valeurs propres du Laplacien de Witten

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