Sur la multiplicité des valeurs propres du Laplacien de Witten

Abstract

Résumé.-Sur toute variété compacte de dimension supérieure ou égale à 4, on prescrit le volume et le début du spectre du laplacien de Witten agissant sur les p-formes différentielles pour 0 < p < n. En particulier, on prescrit la multiplicité des premières valeurs propres. Sur les variétés de dimension 3, on construit des exemples de première valeur propre multiple pour les 1-formes, dont la multiplicité dépend du genre maximal des surfaces immergées dont toute la 1-cohomologie est induite par la cohomologie de la variété. En particulier, cette multiplicité est au moins égale à 3.Mots-clefs : laplacien de Witten, formes différentielles, multiplicité de valeurs propres.Abstract.-On any compact manifold of dimension greater than 4, we prescribe the volume and any finite part of the spectrum of the Witten Laplacian acting on p-form for 0 < p < n. In particular, we prescribe the multiplicity of the first eigenvalues. On 3-dimensional manifolds, we give examples of multiple first eigenvalue for 1-forms, whose multiplicity depends on the maximal genus of embedded surfaces all of whose 1-cohomology is induced by the cohomology of the manifold. In particular, this multiplicity is at least 3.

On Witten Laplacians and Brascamp–Lieb’s Inequality on Manifolds with Boundary

“…We find generally there the formula (2.20) (see e.g. [11,17] and references therein) and we thus give a proof below (see also [13] for another proof). Let us, before, specify the sense of (2.23).…”

Existence of Dirac eigenvalues of higher multiplicity

“…Some parts of these articles are formulated for more general classes of self-adjoint positive operators (notice however that the Dirac operator is not positive). These results were generalized later by Jammes [18][19][20][21] to the case of a Hodge Laplacian acting on p-forms and even to the Witten Laplacian.…”

“…In particular, the multiplicities of the various eigenvalues can be arbitrarily large. In 2012 Jammes generalizes this result to the Witten Laplacian, see [Jam12]. To any function f ∈ C ∞ (M ) and any metric g, the Witten Laplacian is defined by…”

Prescription du spectre de Steklov dans une classe conforme

“…Remarque 1.4. On sait que la prescription de multiplicité est possible pour les opérateurs de Schrödinger en dimension n ≥ 3 ([CdV86], [CdV87]) et les opérateurs agissant sur les formes différentielles en dimension n ≥ 4 ([Ja11], [Ja12]). Mais ce problème n'est toujours pas résolu pour les formes différentielles en dimension 3, ni pour l'opérateur de Dirac, dont on ne sait actuellement prescrire le spectre que si les valeurs propres sont simples ( [Da05]).…”