Multiplicity bounds for Steklov eigenvalues on Riemannian surfaces

Karpukhin, Mikhail; Kokarev, Gerasim; Polterovich, Iosif

doi:10.5802/aif.2918

Cited by 34 publications

(45 citation statements)

References 21 publications

Supporting

Mentioning

Contrasting

Unclassified

Order By: Relevance

“…These results appeared almost simultaneously in two other papers [18,20], with some improvements in [20]. The approaches behind all the proofs go back to the ideas of Cheng and Besson on multiplicity bounds of the eigenvalues of the Laplacian on closed surfaces.…”

Section: Notation and Preliminariesmentioning

confidence: 90%

Sharp eigenvalue bounds and minimal surfaces in the ball

2015

View full text Add to dashboard Cite

We prove existence and regularity of metrics on a surface with boundary which maximize sigma_1 L where sigma_1 is the first nonzero Steklov eigenvalue and L the boundary length. We show that such metrics arise as the induced metrics on free boundary minimal surfaces in the unit ball B^n for some n. In the case of the annulus we prove that the unique solution to this problem is the induced metric on the critical catenoid, the unique free boundary surface of revolution in B^3. We also show that the unique solution on the Mobius band is achieved by an explicit S^1 invariant embedding in B^4 as a free boundary surface, the critical Mobius band. For oriented surfaces of genus 0 with arbitrarily many boundary components we prove the existence of maximizers which are given by minimal embeddings in B^3. We characterize the limit as the number of boundary components tends to infinity to give the asymptotically sharp upper bound of 4pi. We also prove multiplicity bounds on sigma_1 in terms of the topology, and we give a lower bound on the Morse index for the area functional for free boundary surfaces in the ball.Comment: 52 pages. Final version that appeared in Invent. Math.: Presentation of Proposition 4.3 improved, other minor edits throughou

show abstract

Section: Notation and Preliminariesmentioning

confidence: 90%

Sharp eigenvalue bounds and minimal surfaces in the ball

2015

View full text Add to dashboard Cite

show abstract

“…-Un premier résultat de cet article est de démontrer qu'on a au moins une inégalité dans l'égalité de la conjecture 1.2 : On va s'attacher ensuite à améliorer les bornes connues sur la multiplicité des valeurs propres, en commençant par considérer une surface quelconque. Rappelons d'abord le résultat de [KKP14], qui est la meilleure majoration connue pour une surface Σ et une valeur propre σ k quelconques (elle est démontré dans [KKP14] pour γ ≡ 1 mais sans hypothèse de régularité sur ρ) :…”

Section: Définitions Et Notations -Avant D'énoncer Les Résultats Préunclassified

“…Contrairement au théorème 1.5 et aux travaux [FS16], [KKP14] et [Jam14], le théorème qui suit n'utilise pas les résultats de Cheng [Che76] sur la structure de l'ensemble nodal des fonctions propres mais les techniques topologiques de B. Sévennec, ce qui autorise des hypothèses de régularité beaucoup plus faibles (voir le théorème 5.4 et la remarque 5.6). …”

Section: Définitions Et Notations -Avant D'énoncer Les Résultats Préunclassified

“…-Pour majorer la multiplicité il s'agit, comme dans [FS16], [Jam14] et [KKP14], de se ramener à la démonstration utilisée dans le cas des opérateurs de Schrödinger sur les surfaces closes. La minoration découle du théorème 1.3.…”

Section: Construction De Valeurs Propres Multiplesunclassified

“…L'étude de la multiplicité des valeurs propres de Steklov a fait récemment l'objet des travaux [FS16], [Jam14], [KKP14]. Ces trois articles montrent que sur une surface compacte à bord donnée, la multiplicité de la k-ième valeur propre de Steklov est majorée en fonction de k et de la topologie (voir le paragraphe qui suit pour la définition du spectre de Steklov).…”

Section: Introductionunclassified

See 2 more Smart Citations

Multiplicité du spectre de Steklov sur les surfaces et nombre chromatique

Jammes¹

2016

Pacific J. Math.

View full text Add to dashboard Cite

Résumé. -Dans cet article, on démontre plusieurs résultats sur la multiplicité des premières valeurs propres de Steklov sur les surfaces compactes à bord. On améliore certaines bornes sur la multiplicité, en particulier pour la première valeur propre, et on montre qu'elles sont optimales sur plusieurs surfaces de petit genre. Dans un article précédent, on a défini un nouvel invariant chromatique des surfaces à bord et on a conjecturé qu'il est relié à la multiplicité de la première valeur propre de Steklov. Dans le present article on étudie cet invarianti et on confirme la conjecture dans les cas où la borne optimale est connue.Abstract. -In this article, we prove several results about the multiplicity of the first Steklov eigenvalues on compact surfaces with boundary. We improve some bounds on the multiplicity, especially for the first eigenvalue, and we prove they are sharp on some surfaces of small genus. In a previous article, we defined a new chromatic invariant of surfaces with boundary and conjectured that this invariant is related to the bound on the first eigenvalue. In the present article, we study this invariant, and prove that the conjecture is true when the known bound is sharp. IntroductionL'étude de la multiplicité des valeurs propres de Steklov a fait récemment l'objet des travaux [FS16], [Jam14], [KKP14]. Ces trois articles montrent que sur une surface compacte à bord donnée, la multiplicité de la k-ième valeur propre de Steklov est majorée en fonction de k et de la topologie (voir le paragraphe qui suit pour la définition du spectre de Steklov). Dans [Jam14], j'ai montré que ce phénomène est spécifique à la dimension 2 et qu'en dimension plus grande, on peut prescrire arbitrairement le début du spectre de Steklov, avec multiplicité. J'ai aussi conjecturé qu'en dimension 2, la multiplicité maximale de la première valeur propre non nulle est déterminée par un invariant topologique de même Classification mathématique par sujets (2000). -35P15, 58J50, 55A15, 57M15. Mots clefs. -spectre de Steklov, multiplicité de valeurs propres, nombre chromatique.

show abstract

An isoperimetric inequality for the second non-zero eigenvalue of the Laplacian on the projective plane

Nadirashvili

Penskoi

2018

Geom. Funct. Anal.

View full text Add to dashboard Cite

We prove an isoperimetric inequality for the second non-zero eigenvalue of the Laplace-Beltrami operator on the real projective plane. For a metric of unit area this eigenvalue is not greater than 20π. This value is attained in the limit by a sequence of metrics of area one on the projective plane. The limiting metric is singular and could be realized as a union of the projective plane and the sphere touching at a point, with standard metrics and the ratio of the areas 3 : 2. It is also proven that the multiplicity of the second non-zero eigenvalue on the projective plane is at most 6.

show abstract

Multiplicity bounds for Steklov eigenvalues on Riemannian surfaces

Cited by 34 publications

References 21 publications

Sharp eigenvalue bounds and minimal surfaces in the ball

Sharp eigenvalue bounds and minimal surfaces in the ball

Multiplicité du spectre de Steklov sur les surfaces et nombre chromatique

An isoperimetric inequality for the second non-zero eigenvalue of the Laplacian on the projective plane

Contact Info

Product

Resources

About