Multiplicity of positive solutions of nonlinear elliptic equations with critical Sobolev exponent in some contractible domains

Compact embeddings for Sobolev spaces of variable exponents and existence of solutions for nonlinear elliptic problems involving the p(x)-Laplacian and its critical exponent

“…If Ω has a nontrivial topology in the sense of Z 2 -homology, then Bahri and Coron [3] showed that the problem has a positive solution; see also [7]. Even if Ω is contractible, then, under some condition on the shape of Ω, Passaseo [30] (Ω) may not be compact, the existence of positive solution to (1.1) is not trivial. Kurata and the fourth author showed that if there exist x 0 ∈ Ω, C 0 > 0, η > 0 and 0 < l < 1 such that ess sup x∈Ω\B η (x 0 ) q(x) < 2N/(N − 2) and (Ω) is compact; see [23,Theorem 2].…”

О Численном Методе Построения Положительного Решения Двухточечной Краевой Задачи Для Одного Нелинейного Дифференциального Уравнения Второго Порядка

“…Исследованиям положительных решений краевых задач для нели-нейных дифференциальных уравнений посвящено много работ российских и зару-бежных математиков (см., например, [1]- [18] и цитированную в них литературу). Книги [1], [2] посвящены положительным решениям задач, в них рассматриваются различные методы доказательства существования и единственности положительных решений нелинейных дифференциальных уравнений, изучаются свойства положи-тельных решений, операторные уравнения с вогнутыми и выпуклыми оператора-ми, построение положительных решений и т.д.…”

“…Книги [1], [2] посвящены положительным решениям задач, в них рассматриваются различные методы доказательства существования и единственности положительных решений нелинейных дифференциальных уравнений, изучаются свойства положи-тельных решений, операторные уравнения с вогнутыми и выпуклыми оператора-ми, построение положительных решений и т.д. В работах [3]- [15] рассматривают-ся вопросы существования и единственности положительных решений нелинейных дифференциальных второго порядка эллиптического типа, в [16] исследуется пове-дение положительных решений, в [17], [19] получены априорные оценки положи-тельного решения, в [18], [20] изучаются кратные положительные решения.…”

A Nonlinear Elliptic Equation with Critical Exponents: Effect of Geometry and Topology of the Domain

“…Some contractible domains on which problem ðP 0 Þ has solutions were constructed by Dancer [4], Ding [5] and Passaseo [9]. Dancer and Ding proved that if the domain O is an annulus which has a small hall ( Fig.…”