Nichteindeutigkeit bei gewöhnlichen Differentialgleichungen

Abstract

I n dieser Arbeit werden hinreichende Bedingungen fur nicht eindeutigeHestimmtheit der Losungen der Differentialgleichung (1)angegeben. Wahrend es zahlreiche Untersuchungen zur Frage nach der einrleutigen Losbarkeit von (1) gibt (s. etwa LAKSHMIKANTHAM und LEEU [l], WALrER [3]), wurde die umgekehrte Frage vergleichsweise selten gestellt. TAMARKINE [2] bewies ein Kriterium, das der Umkehrung der bekannten OSGOODschen Eindeutigkeitsbedingung entspricht. Fur den Fall einer skalaren Differentialgleichung fand YOSIE 141 in AnschluD an PERRONS Methode der Ober-und Uiiterfunktionen eine der Nichteindeutigkeit gleichwertige Bedingung. Wir werden unter Verwendung LJAPuNovscher Funktionen ein Kriterium herleiten, das TAMARKINES Ergebnis als Spezialfall enthalt. An einem Beispiel wird die Trsgweite des Ergebnisses untersucht. 2. Wir wollen den folgenden Satz beweisen :Es sei f ( t , z) stetig fur to 5 t 5 to + a, J z -zDI 5 b mit Werten im I?'. V ( t , 5) sei stetig f u r t n 5 t 5 to + a, I x 1 < 2 b mit Werten im R', positiv definit uizd erfulle fur to < t 5 tn + a, 0 < I x I < 2 b eine lokale LIPscHrTzbedingung. g ( t , u) sei stetig f u r to 5 t 5 to + a , 0 5 u mit Werten in R ' . Fur to 5 t 5 to + n sei q ( t , 0 ) = 0. Die Differentialgleichung (2) k ( t ) = g ( t , u ) , u(to) = 0 , habe eine Losung u ( t ) , die fur t =+= t n nicht verschwindet. Fur I yzo I < b,wobei 0 5 q ( t , V ( t , zy)) 5 V ( t , z, y), 1 h P ( t , x, y): = lim sup -[ V ( t + h, zy + h ( f (t, z) -f ( t , y))) h-.II+ -V ( t , 5 -Y)l. So hat ( 1 ) mindeetens zwei verechiedene L6aungen.

Some remarks on a paper by samimi on nonuniqueness criteria for ordinary differential equations

“…If f is continuous at t = 0 and B(t) = t Theorem 1 includes Theorem 2.2.7 (in [2]) by LAKSHMIKANTHAM as a special case. However, STETTNER [5] shows that in this continuous case the crucial assumption (4) cannot be fulfilled. But it is a great surprise that, if the normal distance function in (2) is replaced by a Ljapunov-function, inequality (2) can be fulfilled as is shown in 131.…”

Nonuniqueness results for ordinary differential equations

“…Supposing a > −∞, B(t) ≡ 1, we obtain the following generalization of the revised Stettner's Nonuniqueness Theorem (see [8] and [6]):…”

Nonuniqueness theorem for a singular Cauchy‐Nicolettiproblem

“…The nonuniqueness of a regular or singular Cauchy problem for ordinary differential equations is studied in several papers such as [3,4,5,13,14,15,16,17]. Most of these results can also be found in the monograph [1].…”