Numerical Dispersive Schemes for the Nonlinear Schrödinger Equation

Ignat, Liviu I.; Zuazua, Enrique

doi:10.1137/070683787

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“…[7]). As shown in [4], similar pathological high frequency phenomena have been observed in the context of the Strichartz dispersive estimates for the finite difference approximations of the Schrödinger equation.…”

Section: Introduction and Problem Formulationsupporting

confidence: 67%

“…Ce type de phénomène pathologique apparaît aussi au niveau des estimations dispersives de Strichartz associéesà l'équation de Schrödinger semi-discretisée en espace par différences finies, cf. [4]. L'avantage de notre construction de paquets d'ondes numériquesà haute fréquence est qu'elle peutêtre généraliséeà d'autres approximations plus sophistiquées de l'équation des ondes comme celles obtenues par les méthodes de Galerkin discontinus ou par deséléments finis classiques d'ordre supérieur, où le symbole "numérique" en Fourier du Laplacien est une matrice donnant lieuà plusieurs relations de dispersion, cf.…”

Section: Résuméunclassified

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Localized solutions for the finite difference semi-discretization of the wave equation

Marica¹,

Zuazua²

2010

Comptes Rendus. Mathématique

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We study the propagation properties of the solutions of the finite-difference space semi-discrete wave equation on an uniform grid of the whole Euclidean space. We provide a construction of high frequency wave packets that propagate along the corresponding bi-characteristic rays of Geometric Optics with a group velocity arbitrarily close to zero. Our analysis is motivated by control theoretical issues. In particular, the continuous wave equation has the so-called observability property: for a sufficiently large time, the total energy of its solutions can be estimated in terms of the energy concentrated in the exterior of a compact set. This fails to be true, uniformly on the mesh-size parameter, for the semi-discrete schemes and the observability constant blows-up at an arbitrarily large polynomial order. Our contribution consists in providing a rigorous derivation of those wave packets and in analyzing their behavior near that ray, by taking into account the subtle added dispersive effects that the numerical scheme introduces. RésuméOnétudie les propriétés de propagation des solutions de l'équation des ondes semi-discretisée en espace par différences finies sur une grille uniforme dans tout l'espace euclidien. On réalise une construction de paquets d'ondes concentrésà haute fréquence qui se propagent le long des rayons bicaractéristiques de l'Optique Géométriqueà une vitesse de groupe arbitrairement petite. Notre analyse est motivée par la théorie du contrôle. Plus précisement, l'équation des ondes continue vérifie la propriété d'observabilité : pour un temps suffisament grand, l'énergie totale de ses solutions peutêtre estimée en fonction de l'énergie localiséeà l'extérieur d'un ensemble compact. Cette propriété n'est pas verifiée de manière uniforme par rapport au pas de discrétisation pour le schéma semidiscret pour un temps fini quelconque, si bien que la constante d'observabilité semi-discrète diverge avec un taux polynomial arbitraire. Nous donnons une construction précise de ces paquets d'ondes et decrivons l'effet dispersif rajouté que le schéma numérique génère autour du rayon de propagation. Dans cet article, on considère le problème de Cauchy associéà l'équation des ondes d-dimensionnelle semi-discretisée en espace par un schéma centré en différences finies dans un maillage uniforme. Nous avons deux objectifs. Le premier est de montrer l'éxistence de paquets d'ondes concentrés autour d'un nombre d'onde fixé a priori,à haute fréquence, propageant avec une vitesse de groupe arbitrairement petite autour des rayons bicharactéristiques du schéma semi-discret et donc peu visibles depuis le domaine d'observation. On déduit dans [3] que la constante d'observabilité semi-discrète diverge au moins d'une manière polynomiale arbitraire, et ce pour tout temps d'observabilité fini. Le deuxième objectif est de donner une forme asymptotique précise pour ces paquets d'ondes, de façonà mettre enévidence la dispersion numérique qui n'apparaît pas dans le modèle continu.Notre résultat complète la littérature exi...

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Section: Introduction and Problem Formulationsupporting

confidence: 67%

Section: Résuméunclassified

Localized solutions for the finite difference semi-discretization of the wave equation

Marica¹,

Zuazua²

2010

Comptes Rendus. Mathématique

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“…The resolvent estimates are also a well-known tool for dealing with Strichartz estimates, see [35]. Again, we think that this approach can yield new results and uniform dispersive estimates for discrete Schrödinger and wave equations, similarly as what has been done in [23,22,24].…”

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confidence: 64%

Resolvent estimates in controllability theory and applications to the discrete wave equation

Ervedoza¹

2011

Journées Équations Aux Dérivées Partielles

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Resolvent estimates in controllability theory and applications to the discrete wave equationResolvent estimates in controllability theory and applications to the discrete wave equation Sylvain Ervedoza AbstractWe briefly present the difficulties arising when dealing with the controllability of the discrete wave equation, which are, roughly speaking, created by highfrequency spurious waves which do not travel. It is by now well-understood that such spurious waves can be dealt with by applying some convenient filtering technique. However, the scale of frequency in which we can guarantee that none of these non-traveling waves appears is still unknown in general. Though, using Hautus tests, which read the controllability of a given system in terms of resolvent estimates, we are able to prove that these spurious waves do not appear before some frequency scale. This document is based on the articles [12,13,14].

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“…Let us mention here only the works [5,25,28,29,30,33] where the uniform stabilization of discrete hyperbolic equations is achieved and [15] where uniform Strichartz's estimates for the discrete Schrödinger equation are obtained by using this method.…”

Section: Uj+2(t)−4uj+1(t)+6uj (T)−4uj−1(t)+uj−2(t)mentioning

confidence: 99%

Approximation of the controls for the beam equation with vanishing viscosity

Bugariu¹,

Micu²,

Rovenţa³

2016

Math. Comp.

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We consider a finite difference semi-discrete scheme for the approximation of the boundary controls of a 1-D equation modelling the transversal vibrations of a hinged beam. It is known that, due to the high frequency numerical spurious oscillations, the uniform (with respect to the mesh-size) controllability property of the semi-discrete model fails in the natural setting. Consequently, the convergence of the approximate controls corresponding to initial data in the finite energy space cannot be guaranteed. We prove that, by adding a vanishing numerical viscosity, the uniform controllability property and the convergence of the scheme is ensured.

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Numerical Dispersive Schemes for the Nonlinear Schrödinger Equation

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Localized solutions for the finite difference semi-discretization of the wave equation

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