Numerical Method for Solving Some Inverse Heat Conduction Problems with Unknown Initial Conditions

Abstract

55Введение В прикладных задачах, связанных с исследованием нестационарных тепловых процессов, часто возникает ситуация, когда требуемые величины могут быть измерены только на части гра-ницы. Математические модели таких процессов содержат граничные условия, известные только на некоторой части границы и неизвестные на других ее участках. Как правило, для решения этих задач требуется знать начальное условие. Вместе с этим существует целый ряд прикладных исследований, при проведении которых невозможно определить начальные условия. К таким за-дачам, например, относится исследование электромагнитных и тепловых характеристик рабо-тающих двигателей, а также задачи геофизики, связанные с нагревом и охлаждением земной ко-ры. Математические модели таких задач имеют вид обратных граничных задач с неизвестными начальными данными.Проблеме разработки и исследованию методов решения обратных граничных задач посвящены работы многих исследователей. Так, в работе [1] изложены наиболее распространенные методы ре-шения обратных граничных задач тепломассопереноса, в работе [2] рассмотрены итерационные ре-гуляризирующие алгоритмы ньютоновского типа, в работах [3, 4] рассмотрены методы проекцион-ной регуляризации. Методам решения обратной задачи теплопроводности с неподвижной границей, основанным на применении преобразований Лапласа, посвящены работы [5, 6].В статье рассмотрена принципиальная возможность построения численного метода реше-ния для обратных граничных задач с неизвестными начальными условиями и предложен новый метод решения такого рода задач. С целью оценки эффективности предложенного метода был проведен вычислительный эксперимент, результаты которого также представлены в данной работе. Южно-Уральский государственный университет, г. ЧелябинскРассмотрены некоторые обратные задачи для параболических уравнений с неизвестными начальными условиями и граничными условиями, известными на части границы. Указана принципиальная возможность построения численного решения этих задач в рассматриваемой области и предложена вычислительная схема метода, с помощью которой построено числен-ное решение обратной задачи не только на границе, но и во всей рассматриваемой области при неизвестных начальных условиях.С целью проверки эффективности предложенного метода был осуществлен вычисли-тельный эксперимент. Результаты вычислительного эксперимента и найденные эксперимен-тальные оценки погрешностей представлены в статье и свидетельствуют об эффективности предложенного численного метода.Ключевые слова: параболические уравнения, обратная граничная задача, метод регуля-ризации, численный метод, вычислительная схема.

Adjoint Equation Method for Solving the Inverse Diffusion Source Problem

“…Заметим, что для краевой задачи теплопроводности в стержне единичной длины, рассматриваемой в работах [8,9], функция ценности будет представляться в виде гармонического ряда с весовыми сомножителями ~ exp(-a 2 π 2 t), что соответствует виду ядра уравнений, решаемых в цитируемых работах.…”

“…Другим способом решения интегральных уравнений Вольтерры I рода является применение различных методов регуляризации [8,19,20], основная идея которых состоит в минимизации некоторого функционала от искомого решения.…”

“…Назовём их обратными задачами первого рода, отнеся ко второму роду задачи по извлечению информации о коэффициентах диффузионных уравнений. Примеры обратных задач первого рода рассматриваются в работах [6][7][8][9][10][11][12][13][14]. В частности, в [9-10] развивается метод решения обратной задачи диффузионного типа, основанный на использовании прямого и обратного преобразований Лапласа, что позволяет свести исходную задачу к решению интегрального уравнения Вольтерры первого рода, характеризующего прямую зависимость искомой функции источника от известных граничных условий.…”