On a finite moment perturbation of linear functionals and the inverse Szeg´´o transformation

Abstract

Abstract. Given a sequence of moments {c n } n∈Z associated with an Hermitian linear functional L defined in the space of Laurent polynomials, we study a new functional L Ω which is a perturbation of L in such a way that a finite number of moments are perturbed. Necessary and sufficient conditions are given for the regularity of L Ω , and a connection formula between the corresponding families of orthogonal polynomials is obtained. On the other hand, assuming L Ω is positive definite, the perturbation is analyzed through the inverse Szeg´ó transformation. Keywords: Orthogonal polynomials on the unit circle, perturbation of moments, inverse Szeg´ó transformation. MSC2010: 42C05, 33C45, 33D45, 33C47.Sobre una perturbación finita de momentos de un funcional lineal y la transformación inversa de Szeg´óResumen. Dada una sucesión de momentos {c n } n∈Z asociada a un funcional lineal hermitiano L definido en el espacio de los polinomios de Laurent, estudiamos un nuevo funcional L Ω que consiste en una perturbación de L de tal forma que se perturba un número finito de momentos de la sucesión. Se encuentran condiciones necesarias y suficientes para la regularidad de L Ω , y se obtiene una fórmula de conexión que relaciona las familias de polinomios ortogonales correspondientes. Por otro lado, suponiendo que L Ω es definido positivo, se analiza la perturbación mediante de la transformación inversa de Szeg´ó. Palabras clave: Polinomios ortogonales en la circunferencia unidad, perturbación de momentos, transformación de Szeg´ó inversa.

Matrix moment perturbations and the inverse Szegő matrix transformation

“…The following result shows the matrix measure supported on [−1, 1] that is related with (3.5) through the inverse Szegő matrix transformation. This result constitutes a generalization of the corresponding result on the scalar case studied in [18,19].…”

“…The above theorem is a generalization to the matrix case of what was studied in [4,19]. The particular case of a perturbation of a single matrix moment given by (3.5) is shown in the following corollary.…”