On R-matrix valued Lax pairs for Calogero–Moser models

Abstract

The article is devoted to the study of R-matrix-valued Lax pairs for N -body (elliptic) Calogero-Moser models. Their matrix elements are given by quantum GLÑ R-matrices of Baxter-Belavin type. ForÑ = 1 the widely known Krichever's Lax pair with spectral parameter is reproduced. First, we construct the R-matrix-valued Lax pairs for Calogero-Moser models associated with classical root systems. For this purpose we study generalizations of the D'Hoker-Phong Lax pairs. It appeared that in the R-matrix-valued case the Lax pairs exist in special cases only. The number of quantum spaces (on which R-matrices act) and their dimension depend on the values of coupling constants. Some of the obtained classical Lax pairs admit straightforward extension to the quantum case. In the end we describe a relationship of the R-matrix-valued Lax pairs to Hitchin systems defined on SL NÑ bundles with nontrivial characteristic classes over elliptic curve. We show that the classical analogue of the anisotropic spin exchange operator entering the R-matrix-valued Lax equations is reproduced in these models.

Generalized model of interacting integrable tops

“…Applications of the obtained models are related to the so-called R-matrix-valued Lax pairs for the (classical) spinless Calogero-Moser model [20,29,14]. These are the Lax pairs in a large space Mat(M, C) ⊗ Mat(N, C) ⊗M :…”

“…This expression enters (1.1). The phase space of the model is a coadjoint orbit 14) of GL N Lie group, i.e. the space spanned by S ij with some fixed eigenvalues of S (or the Casimir functions C k = trS k ).…”

Модель Калоджеро - Мозера И $R$-Матричные Тождества

“…, q n ) классические, а спиновые переменные проквантованы в фундаментальном представлении группы GL(N, C). Канонические переменные для пары Лакса также могут быть проквантованы [16] простейшим образом:…”

“…Для некоторых других систем корней R-матричные пары Лакса описаны в работах [8], [16]. Пространство Mat(n, C) мы будем называть вспомогательным и обозначать индексом "aux" (от слова auxiliary), а пространство Mat(N n , C), в котором лежит любой из блоков, -квантовым в том смысле, что оно совпадает с End(H), где H ∼ = (C N ) ⊗n -гильбертово пространство квантовой спиновой GL(N, C)-цепочки, содержащей n узлов (в фундаментальном представлении группы GL(N, C)).…”

“…В эллиптическом случае (2.31), (2.32) гамильтониан, вычисленный по tr L 2 (z), приводится к виду[16] …”