On Reproducibility of Functions, Derivatives and Solutions of Differential Equations Using Stored Coefficients of Piecewise Interpolation

Abstract

Изложен метод компьютерного вычисления функций одной действительной переменной, построение которого инвариантно относительно вида функции, границ погрешности и временной сложности приближения. Метод дает непрерывное кусочно-интерполяционное приближение функции, распространяется на приближенное решение задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), при этом непрерывно приближение решения и приближение производной от решения. Во всех рассматриваемых случаях приближение реализуется программно и сохраняется в памяти компьютера. Хранимое приближение программно восстанавливается (без повторного решения) с минимальной временной сложностью, что позволяет выполнять исследование функций, решений задачи Коши, их производных. Восстановление хранимого приближения реализуется в границах области допустимых значений функции и во всей области приближенного решения задачи Коши. Сравнительно высокая точность метода иллюстрируется с помощью численного эксперимента, включающего вычисление гамма-функции, функции Бесселя и гипергеометрической функции. Две последние функции реализуются через приближенное решение задачи Коши для ОДУ, приводятся коды программ. Показано математическое и техническое значение хранимой непрерывной кусочной интерполяции функций и решений задачи Коши для ОДУ, дано обоснование метода и оценки временной сложности восстановления хранимого приближения. Воспроизведение приближенного решения задачи Коши является максимально параллельным процессом. Отмечены области применения метода, в том числе для моделирования движения искусственных спутников Земли. Возможна организация банка хранимых приближений решений задачи Коши для одной системы при различных начальных значениях, а также аналогичных приближений для класса задач, что может применяться при решении двухточечной задачи Коши и для компьютерного анализа отклонения от невозмущенного решения.