Изложен метод компьютерного вычисления функций одной действительной переменной, построение которого инвариантно относительно вида функции, границ погрешности и временной сложности приближения. Метод дает непрерывное кусочно-интерполяционное приближение функции, распространяется на приближенное решение задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), при этом непрерывно приближение решения и приближение производной от решения. Во всех рассматриваемых случаях приближение реализуется программно и сохраняется в памяти компьютера. Хранимое приближение программно восстанавливается (без повторного решения) с минимальной временной сложностью, что позволяет выполнять исследование функций, решений задачи Коши, их производных. Восстановление хранимого приближения реализуется в границах области допустимых значений функции и во всей области приближенного решения задачи Коши. Сравнительно высокая точность метода иллюстрируется с помощью численного эксперимента, включающего вычисление гамма-функции, функции Бесселя и гипергеометрической функции. Две последние функции реализуются через приближенное решение задачи Коши для ОДУ, приводятся коды программ. Показано математическое и техническое значение хранимой непрерывной кусочной интерполяции функций и решений задачи Коши для ОДУ, дано обоснование метода и оценки временной сложности восстановления хранимого приближения. Воспроизведение приближенного решения задачи Коши является максимально параллельным процессом. Отмечены области применения метода, в том числе для моделирования движения искусственных спутников Земли. Возможна организация банка хранимых приближений решений задачи Коши для одной системы при различных начальных значениях, а также аналогичных приближений для класса задач, что может применяться при решении двухточечной задачи Коши и для компьютерного анализа отклонения от невозмущенного решения.

Компьютерное вычисление определенного интеграла от функции одной вещественной переменной реализуется на основе кусочно-интерполяционного приближения подынтегральной функции. Интерполяция выполняется с помощью полиномов Лагранжа и Ньютона, преобразуемых в каноническую форму алгебраических полиномов с числовыми коэффициентами. Требуемое преобразование осуществляется простым двойным циклом программы. Полученный в результате полином интегрируется, приводя к инвариантным относительно степени полинома формулам Ньютона-Котеса. Коэффициенты формул не зависят от подынтегральной функции, промежутка интегрирования, хранятся в разделе описания констант программы. Пользовательский интерфейс стандартизируется до задания на входе программы подынтегральной функции, промежутка интегрирования, как вариант включает степень полинома и число подынтервалов. Приводится обоснование метода, даны оценки сходимости и скорости сходимости, представлены таблицы коэффициентов для случаев применения полиномов Лагранжа и Ньютона. Описаны коды программ и результаты численного эксперимента, согласно которым на промежутке длины 500 достигается граница абсолютной погрешности вычисления интеграла порядка 10 -20 . На стандартных промежутках обычной длины достигается нулевая граница погрешности. Метод распространяется на приближение первообразной подынтегральной функции, в этом случае абсолютная погрешность приближения имеет порядок 10 -19 . Одновременно с минимизацией погрешности минимизируется временная сложность кусочно-интерполяционного вычисления интегралов и первообразных. Ключевые слова: приближенное вычисление интегралов и первообразных, интерполяционные полиномыЛагранжа и Ньютона, кусочная интерполяция, стандартизация пользовательского интерфейса программ вычисления интегралов

Описывается численное моделирование положения навигационного космического аппарата системы ГЛОНАСС по оперативной эфемеридной информации из навигационного сообщения. Моделирование реализовано на основе кусочно-интерполяционного решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений применительно к движению центра масс аппарата. Координаты и составляющие вектора скорости центра масс в произвольно заданные моменты времени из 30-минутного интервала прогнозирования предложенный метод дает с превышением требуемой точности, при этом время расчета существенно меньше времени расчета на основе метода Рунге -Кутты 4-го порядка. Кусочно-интерполяционное приближение решения задачи Коши непрерывно на всем интервале прогнозирования, аналогично непрерывно приближение его производной. Приближение равномерно сходится к решению задачи Коши, аналогично сходится приближение производной. На каждом подынтервале разбиения интервала прогнозирования полином, интерполирующий компонент решения, имеет вид алгебраического полинома фиксированной степени с числовыми коэффициентами. Это позволяет сохранять в памяти компьютера приближение компонента решения в виде типизированного файла (или массива) из коэффициентов полиномов, соответственных подынтервалам разбиения. Непрерывное приближение каждого компонента решения оказывается хранимым и восстанавливается без повторного решения задачи в произвольной точке интервала прогнозирования как соответственное значение полинома. На этой основе процесс прогнозирования естественным образом архивируется. Создаются предпосылки прогнозирования не отдельных точек траектории движения аппарата, а всего непрерывного отрезка этой траектории на интервале прогнозирования. Предложенный метод реализован в виде процедуры с параметрами, определяемыми из навигационного сообщения, и может быть автоматизирован. Приводится программный код процедуры, описываются результаты численного эксперимента.Ключевые слова: численное моделирование положения навигационного космического аппарата, расчет значений координат и составляющих вектора скорости центра масс, хранимое непрерывное приближение решения задачи Коши для дифференциальной модели

Предложено построение библиотеки стандартных программ на основе кусочно-интерполяционного приближения функций одной вещественной переменной. Используются полиномы Лагранжа и Ньютона с алгебраическим восстановлением коэффициентов полинома по его корням. Даны коды программ вычисления коэффициентов и методика их выбора в соответствии с точностью приближения функции. Рассмотрены варианты хранения коэффициентов в разделе констант программы, в типизированном файле, в постоянном запоминающем устройстве, дан алгоритм считывания. С точностью до времени обращения к памяти время вычисления функции измеряется n сложениями и n умножениями, где n -степень интерполирующего полинома. При малом n алгоритм вычисления не влечет накопления погрешности. С границей погрешности 10 в степени -19 сохраняется время вычисления O(1). Вычисления функции взаимно независимы по значениям аргумента, что влечет параллелизм метода. При постоянном n возможна естественная синхронизация параллельных процессов вычисления функций во всех заданных точках. На основе постоянно хранимых коэффициентов любая функция библиотеки может многократно (и параллельно) воспроизводиться на произвольном множестве точек из области допустимых значений. Это относится также к функциям, которые являются кусочно-интерполяционными решениями задачи Коши для системы дифференциальных уравнений. Однократное решение системы позволяет хранить коэффициенты кусочной интерполяции и в дальнейшем воспроизводить решение на любом множестве точек (без повторного численного интегрирования) за время O(1). Данные особенности важны при численном моделировании предсказания координат движущихся объектов в заданный промежуток времени. Если функции правых частей уравнений вычислять с помощью предложенной библиотеки стандартных программ, то процесс численного моделирования ускоряется пропорционально n и числу функций, при этом точность приближения превосходит стандартные требования. Предложенная библиотека является расширяемой и может копироваться на мобильные устройства.Ключевые слова: кусочная интерполяция функций, максимальная точность вычисления при минимизации временной сложности, библиотека стандартных программ, моделирование координат движущихся объектов