On submanifolds with parallel mean curvature vector

Araújo, Kellcio O.; Tenenblat, Keti

doi:10.2996/kmj/1238594546

Cited by 5 publications

(10 citation statements)

References 17 publications

Supporting

Mentioning

Contrasting

Order By: Relevance

“…Over the years, such formulas, nowadays called Simons type equations, proved to be a powerful tool not only for studying minimal submanifolds in Riemannian manifolds, but also, more generaly, for studying submanifolds with constant mean curvature (cmc submanifolds) or with parallel mean curvature vector (pmc submanifolds). A special attention was paid to cmc and pmc submanifolds in space forms, articles like [2,5,8,10,15,16,19] being only a few examples of contributions on this topic in which Simons type formulas are used to prove gap and reduction of codimension theorems. An excellent presentation of the classical result of Simons and some of its applications can be found in the very recent book [9].…”

Section: Introductionmentioning

confidence: 99%

On complete submanifolds with parallel mean curvature in product spaces

Fetcu¹,

Rosenberg²

2013

Rev. Mat. Iberoam.

View full text Add to dashboard Cite

show abstract

Section: Introductionmentioning

confidence: 99%

On complete submanifolds with parallel mean curvature in product spaces

Fetcu¹,

Rosenberg²

2013

Rev. Mat. Iberoam.

View full text Add to dashboard Cite

show abstract

“…In this work, we extend the results proved by Araújo and Tenenblat in [4] to submanifolds in a space form M n+p (c), c ∈ R, whose mean curvature does not vanish and it is only bounded with a parallel normalized mean curvature vector. Our main result is the following.…”

Section: Introductionmentioning

confidence: 84%

“…Important results on the reduction of codimensions were obtained by Chen and Yano [1], Erbacher [2] and Yau [3] in the 1970s. Araújo and Tenenblat [4] studied complete submanifolds with parallel mean curvature vectors and showed that for c ≥ 0 the codimension reduces to 1, if the parallel mean curvature vector does not vanish and the squared norm S of the second fundamental form of M n satisfies the inequality…”

Section: Introductionmentioning

confidence: 99%

See 1 more Smart Citation

On complete submanifolds with bounded mean curvature

Barbosa¹,

Araújo²

2011

Journal of Geometry and Physics

Self Cite

View full text Add to dashboard Cite

MSC: 53C20 53C42 53C40 Keywords:Complete submanifolds The second fundamental form Reduction of codimension Mean curvature a b s t r a c tWe consider M n , n ≥ 3, an n-dimensional complete and connected submanifold of a space form M n+p (c), whose mean curvature H does not vanish and is bounded with a parallel normalized mean curvature vector. We prove that if S ≤ n 2 H 2 n−1 + 2c, where S denotes the squared norm of the second fundamental form of M n , then the codimension of isometric immersion reduces to 1. This result generalizes the case where the mean curvature vector is parallel or mean curvature is constant. If M n is a compact submanifold of hyperbolic space form with constant mean curvature H ̸ = 0, then M n is a geodesic sphere. When M n is a submanifold of the unit sphere with constant mean curvature H ̸ = 0, then either M n is a great or small sphere in S n+1 (1) or M n is a product of spheres S l (r) × S m (s).

show abstract

“…S n/2 δ + dM measures how far an immersion deviates from being δ-pinched. The geometry and topology of δ-pinched immersions have been studied by several authors (see [1,2,4,[12][13][14]64]) in the case where δ = 1/(n − 1). We note that Shiohama and Xu [59,60] gave a topological lower bound of the above integral in the case where δ = 1/n.…”

Section: δ-Pinched Immersionsmentioning

confidence: 99%

Obstruction to isometric immersions

Onti¹,

Όντι²

View full text Add to dashboard Cite

Η παρούσα διατριβή χωρίζεται σε δύο μέρη:Στο πρώτο μέρος, (Κεφάλαια 2, 3 και 4) αποδεικνύουμε φράγματα, που εξαρτώνται από τους αριθμούς Betti, για ολοκληρωτικές καμπυλότητες συμπαγών υποπολυπτυγμάτων του Ευκλειδείου χώρου, με χαμηλή συνδιάσταση. Ως συνέπεια,(i) Υπολογίζουμε την ομολογία των σχεδόν σύμμορφα ισόπεδων (almost conformallyflat) υπερεπιφανειών σε πλήρη και απλά συνεκτικά πολυπτύγματα Riemann,με σταθερή καμπυλότητα τομής (χώροι μορφής).(ii) Αποδεικνύουμε μια αναγκαία συνθήκη έτσι ώστε ένα συμπαγές πολύπτυγμα Riemannνα επιδέχεται ελαχιστική ισομετρική εμβάπτιση ως υπερεπιφάνεια στη σφαίρα.(iii) Επεκτείνουμε ένα αποτέλεσμα των Shiohama και Xu [58] για συμπαγείς υπερεπιφάνειες σε χώρους μορφής.(iv) Δίνουμε τοπολογικούς περιορισμούς για δ-pinched εμβαπτίσεις.(v) Δίνουμε εσωτερικούς περιορισμούς για συμπαγή ελαχιστικά υποπολυπτύγματα της σφαίρας με pinched δεύτερη θεμελιώδη μορφή.Στο δεύτερο μέρος (Κεφάλαιο 5), ασχολούμαστε με το πρόβλημα της ταξινόμησης των υποπολυπτυγμάτων Einstein με ισόπεδη κάθετη δέσμη σε χώρους μορφής. Συγκεκριμένα,αποδεικνύουμε ότι τέτοια υποπολυπτύγματα είναι (τουλάχιστον τοπικά) holonomic.Ως εφαρμογή, κάτω από την υπόθεση ότι ο δείκτης μηδενοκατανομής (relativenullity) της εμβάπτισης είναι θετική σταθερά, συμπεραίνουμε ότι το υποπολύπτυγμα έχει τη δομή γενικευμένου κύλινδρου επί ενός υποπολυπτύγματος με ισόπεδη κάθετη δέσμη. Τέλος, δίνουμε ταξινόμηση των ανωτέρω υποπολυπτυγμάτων υπό την επιπλέον συνθήκη ότι το διανυσματικό πεδίο μέσης καμπυλότητας είναι παράλληλο ως προς την κάθετη συνοχή.

show abstract

On submanifolds with parallel mean curvature vector

Cited by 5 publications

References 17 publications

On complete submanifolds with parallel mean curvature in product spaces

On complete submanifolds with parallel mean curvature in product spaces

On complete submanifolds with bounded mean curvature

Obstruction to isometric immersions

Contact Info

Product

Resources

About