On the asymptotics for solutions of system of two linear oscillators with slowly decreasing coupling

Abstract

In this paper, we construct the asymptotic formulas for solutions of system of two linear oscillators with slowly decreasing coupling as t → ∞. To study this system we use the specially developed variant of the method of averaging that was introduced for investigation of systems with oscillatory decreasing coefficients. To get the asymptotics for the solutions we involve Levinson's fundamental theorem. Moreover, we estimate the o(1) term in asymptotic formulas.

On asymptotics for critical solutions of systems of differential equations with oscillatory decreasing coefficients

“…Если, кроме того, система (13) линейна по y, то многообразие S(t 0 ) представляет собой k-мерное линейное подпространство пространства C m . Возвращаясь к нашей системе (11), легко устанавливаем следующий результат. У системы (11) имеются m − s линейно независимых решений, для которых справедливы оценки (9).…”

“…Это уравнение можно записать в виде системы (13) для нахождения элементов y ij (t) матрицы Y (t). В силу леммы 1 линейная часть этого уравнения (11). В результате получим следующую s-мерную систему дифференциальных уравнений вида (1): ∞).…”

“…Дальнейшее асимптотическое исследование системы (38) связано с необходимостью приведения этой системы к Lдиагональному виду (4). Если это удается сделать, то мы можем построить асимптотику фундаментальной матрицы системы (37), а следовательно, получить асимптотики для s компонент интересующих нас решений системы (11). Учитывая связь (26) между компонентами y 1 и y 2 вектора y в системе (11) и возвращаясь к исходной системе (1), мы, таким образом, можем получить асимптотические формулы для критических базисных решений.…”