On the distribution ofαpmodulo one in imaginary quadratic number fields with class number one

Abstract

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Diophantine approximation with prime restriction in real quadratic number fields

“…Analogues of these results for quadratic number fields have recently been obtained by Harman, the first-named author, Mazumder and Technau in several papers (see [12], [1], [2], [3]) who achieved an analogue of Harman's exponent 7/22 in this setting. Here we consider an analogue for function fields.…”

On the Distribution of αp Modulo One in Quadratic Number Fields

“…We first establish (52), ( 53), ( 54) and (73) for the original functions W , ω and ω used in [1]. In this paper, we worked in the ring of integers O rather than the set of ideals I throughout and hence defined our weight functions on O instead of I.…”

“…The function ω is then ω(a) = λW (a) with λ = 4δ 2 for some parameter δ which specifies the weight function ω. For the precise definition of ω in the setting of O, we refer to [1]. Here we just mention that it detects elements n of O such that the distance of nα to the nearest element a of O is not much larger than δ.…”

“…To prove Theorems 2.1 and 2.4, it remains to modify the final arguments in [1] and [2]. Now we use Harman's lower bound sieve in place of his asymptotic sieve, which we are allowed to do since we have verified the conditions (52), ( 53), (54), ( 73) and (74) in the last section.…”

“…Recently, Harman extended his method to Gaussian integers [8]. The first and third-named authors investigated this problem more generally in the context of imaginary quadratic fields of class number one [1], establishing an exponent which corresponds to ν = 1/4. An analogue of this result was proved by the first and second-named authors for real quadratic fields in [2].…”