On the existence of disk-like global sections for Reeb flows on the tight 3-sphere

Hryniewicz, Umberto L.; Salomão, Pedro A. S.

doi:10.1215/00127094-1444278

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“…Observação 1.17 ([19], [39]). Toda métrica Riemanniana em M induz, de maneira natural, uma métrica Riemanniana na simpletização R × M .…”

Section: Variedades Simpléticas E Simpletização De Variedades De Contatounclassified

“…O resultado anterioré bastante conhecido e tem sido usado, por exemplo, em [23,24,35,39]. A demonstração da proposição acimaé uma adaptação da prova da Proposição 6.2 em …”

Section: Curvas Pseudo-holomorfasunclassified

“…Nosso primeiro resultado principal, apresentado no segundo capítulo,é motivado pelo Teorema 1.3 em [39]. Neste artigo, Hryniewicz e Salomão apresentam condições necessárias e suficientes para que umaórbita fechada de Reeb seja bordo de uma seção global tipo disco na 3-esfera tight.É natural questionar se existem condições impedindo que umaórbita fechada seja bordo de uma seção global tipo disco.…”

Section: Introductionunclassified

“…No primeiro, os métodos de preenchimento por discos e análise de bubbling-off similaresàqueles encontrados em [19,21,23,35,39] produzem um disco furado (mergulhado) de energia finita com umúnico furo negativo cujo limite assintóticoé umaórbita fechada de ReebP satisfazendo µ CZ (P ) = 2. A Teoria de Interseção de curvasJ-holomorfas de McDuff [49] implicará quePé não-enlaçada em L. Asórbitas fechadas L eP são geometricamente distintas pois Lé um p-nó trivial satisfazendo sl(L) = − 1 p e µ CZ (L p ) ≤ 1.…”

Section: Introductionunclassified

“…Uma análise de bubbling-off ou produz umá orbita fechadaP contrátil em M satisfazendo µ CZ (P ) = 2 ou produz um plano rápido de energia finita mergulhado assintótico no (único) furo positivo em ∞àórbita fechada P . Seguindo [33] e [39], verificamos que ou existe umaórbita fechadaP contrátil em M ou o espaço destes planoś e compacto. Este fato fornece uma decomposição em livro aberto cuja encadernaçãoé aórbita fechada P e as folhas são transversais ao campo de Reeb.…”

Section: Introductionunclassified

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Sobre fluxos de Reeb tri-dimensionais: existência implicada de órbitas periódicas e uma caracterização dinâmica do toro sólido.

Silva¹

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Sobre fluxos de Reeb tri-dimensionais: existência implicada deórbitas periódicas e uma caracterização dinâmica do toro sólido.Esta versão da tese contém as correções e alterações sugeridas pela Comissão Julgadora durante a defesa da versão original do trabalho, realizada em 29/10/2014. Uma cópia da versão original está disponível noInstituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo.Comissão Julgadora:• Prof. Dr. Pedro Antonio Santoro Salomão (orientador) -IME-USP• Prof. Dr. Clodoaldo Grotta Ragazzo -IME-USP• Prof. Dr. Salvador Addas Zanata -IME-USP• Prof. Dr. Leonardo de Magalhães Macarini -UFRJ• Prof. Dr. Joachin Weber -UNICAMP Dedico aos meus pais e a minha namorada Ariana. AgradecimentosA minha namorada Ariana, pelo apoio, incentivo, compreensão e, sobretudo, paciência durante estes quatro anos. As nossas conversas e a sua companhia foram fundamentais.Aos meus pais, Antonio e Ede, pelo encorajamento e palavras de apoio desde o início dos meus estudos. Sem esta base, eu não teria conseguido.Ao Professor Pedro Antonio Santoro Salomão, meu orientador, pela paciência com que sempre respondeu minhas dúvidas, mesmo as mais banais, pela disponibilidade e prestatividade, por apresentar umaárea tão interessante e motivadora e sugerir futuros problemas de pesquisa.Ao Professor Umberto Leone Hryniewicz, meu coorientador, pela hospitalidade durante a minha estada na UFRJ e sugestões de problemas para o doutorado e pesquisas posteriores. Neste trabalho, estudamos a dinâmica de Reeb associada a uma forma de contato λ definida numa 3-variedade compacta e conexa M . Assumimos que λé tight e a estrutura de contato ξ = ker λ satisfaz c 1 π 2 (M ) (ξ) ≡ 0. No nosso primeiro resultado, supomos que Mé fechada. Se existe umaórbita fechada L do fluxo de Reeb queé um p-nó trivial, p ∈ Z * + , cujos números de auto-enlaçamento e de rotação transversal satisfazem, respectivamente, sl(L) = − 1 p e ρ(L p ) < 1, provamos que existe umaórbita fechada contrátil P geometricamente distinta de L e não-enlaçada em L satisfazendo ρ(P ) = 1. Apresentamos também uma versão deste resultado para o caso em que Mé uma 3-variedade cujo bordoé difeomorfo a um toro e invariante pelo fluxo de Reeb e não existemórbitas fechadas contidas no bordo. Nosso segundo resultadoé uma caracterização dinâmica do toro sólido. Seja λ uma forma de contato não-degenerada definida em uma 3-variedade M cujo bordoé difeomorfo a um toro e invariante pelo fluxo de Reeb. Se o fluxo de Reeb satisfaz certas hipóteses de torção sobre o bordo, provamos que ou existe umá orbita fechada contrátil comíndice de Conley-Zehnder 2 ou Mé folheada por discos transversais ao campo de Reeb. Nesteúltimo caso, Mé difeomorfa a um toro sólido e existe umaórbita fechada não-contrátil em M queé ponto fixo da aplicação de retorno induzida pela folheação. In this work, we study the Reeb dynamics associated to a tight contact form λ defined on a compact, connected 3-manifold M which satisfies c 1 π 2 (M ) (ξ = ker λ) ≡ 0. In our first result, we assume that M is closed and there exis...

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“…Observação 1.17 ([19], [39]). Toda métrica Riemanniana em M induz, de maneira natural, uma métrica Riemanniana na simpletização R × M .…”

Section: Variedades Simpléticas E Simpletização De Variedades De Contatounclassified

“…O resultado anterioré bastante conhecido e tem sido usado, por exemplo, em [23,24,35,39]. A demonstração da proposição acimaé uma adaptação da prova da Proposição 6.2 em …”

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