On the Holonomy Group of the Conformally Flat Riemannian Manifold

Abstract

The main purpose of the present paper is to show that the local homogeneous holonomy group of the conformally flat Riemannian manifold is the full rotation group with some exceptions, 1. Let M be an n dimensional conformally flat Riemannian manifold (n ^ 3), the metric being given by ds 2 = cf'Σdx} in a coordinates neighborhood U with a function a-aixi, . . . , x n ) of class 2. We take rectangular frames in the tangent spaces at each point of U and put according to the frames When we puty,7r/ is a flat metric, and if we take πij such thatthen we have by the flatness of "Σπ)Next we putand we getThus (Oij are the parameters of the Riemannian connection of M in U. Now we calculate the curvature forms of M. Putting

Конформно Плоские Лоренцевы Многообразия Со Специальными Группами Голономии

“…[1]), что либо конформно плоское риманово многообразие яв-ляется произведением двух пространств постоянной секционной кривизны или произведением пространства постоянной секционной кривизны и интервала, либо ограниченная группа голономии этого многообразия совпадает с компо-нентой связности единицы ортогональной группы. Последнее условие пред-ставляет собой наиболее общую ситуацию; среди разнообразных многообра-зий, удовлетворяющих этому условию, можно выделить только пространства постоянной секционной кривизны.…”

“…В § 2 мы распространяем результат Куриты (см. [1]) на случай псевдоримановых многообразий. В § 3 приводятся выражения для тензора кривизны и конформного тензора кривизны Вейля W метрики Волкера.…”

“…§ 2. Разложимость конформно плоских псевдоримановых многообразий Курита в [1] доказал следующую теорему для случая римановых многооб-разий.…”

“…Применяя теорему 5 к конформно плоскому, не являющемуся плоским ло-ренцеву многообразию (M, g) размерности 4 с алгеброй голономии g ⊂ so (1,3), получим, что (M, g) должно удовлетворять одному из следующих условий:…”

n-dimensional totally real minimal submanifolds of CP n

“…So, M is reducible and thus locally isometric to one of the following spaces (see [5]) Assume z(M) = 0. Then, by (4.9), we have that M is conformally fiat (i.e.…”