On the locus of 2-dimensional crystalline representations with a given reduction modulo p

On the reductions of certain two-dimensional crystalline representations

“…With some exceptions, V k,a has been computed when v p (a) < 2 in the work of Buzzard, Gee, Ganguli, Ghate, Bhattacharya, Rozensztajn, and Rai in [BG15], [BGR18], [BG09], [BG13], [GG15], and [GR]. Finally, Rozensztajn's work [Roz18] gives an algorithm that computes V k,a for given p, k, a, and her work [Roz20] gives an algorithm that finds the locus of all a such that V k,a = ρ for given p, k, and a modulo p representation ρ.…”

Factorization de la cohomologie étale p-adique de la tour de Drinfeld

“…-Pour la plupart des blocs B le th. 5.11 découle facilement des résultats de Kisin [44] et de l'observation [57] que l'espace rigide associé à R B,M s'identifie à un ouvert de la droite projective analytique (en utilisant la filtration de Hodge des diverses représentations interpolées par cet anneau), ce qui permet de montrer que cet anneau est un produit fini d'anneaux principaux. Les blocs délicats sont ceux correspondant à un twist des représentations 1 ⊕ 1 et 1 ⊕ ω (cette dernière seulement pour p = 3).…”

Correspondance de Langlands locale $p$-adique et anneaux de Kisin

“…1.4.7]) à part pour le fait que Kisin ne fixe pas M mais seulement sa restriction au sous-groupe d'inertie et son déterminant ce qui donne a priori deux M possibles : M et M ⊗ µ −1 où µ −1 est le caractère non ramifié d'ordre 2. (Les résultats de Kisin sont valables pour des représentations de G K , avec [K : Q p ] < ∞, en dimension arbitraire, mais comme notre construction utilise la correspondance de Langlands locale p-adique, nous sommes forcés de nous restreindre aux représentations de dimension 2 de G Qp ; la géométrie de l'analogue de l'espace X M,ρ est un produit d'anneaux principaux, on commence par prouver que cet anneau est lisse et qu'il s'identifie à l'anneau des fonctions analytiques bornées sur un ouvert de P 1 , ce qui permet d'utiliser la classification standard des ouverts de P 1 (voir les travaux de Rozensztajn [27] pour des résultats du même type).…”