On the ring of p-integers of a cyclic p-extension over a number field

Abstract

On the ring of p-integers of a cyclic p-extension over a number field par HUMIO ICHIMURA RÉSUMÉ. Soit p un nombre premier. On dit qu'une extension finie, galoisienne, N/F d'un corps de nombres F, à groupe de Galois G, admet une base normale p-entiere (p-NIB en abrégé) si O'N est libre de rang un sur l'anneau de groupe O'F[G] où O'F = O'F[1/p] désigne l'anneau des p-entiers de F. Soit m = pe une puissance de p et N/F une extension cyclique de degré m. Lorsque 03B6m ~ F , nous donnons une condition nécessaire et suffisante pour que N/F admette une p-NIB (Théorème 3). Lorsque 03B6m ~-F et p ~ [F(03B6m) : F], nous montrons que N/F admet une p-NIB si et seulement si N(03B6m)/F(03B6m) admet p-NIB (Théorème 1). Enfin, si p divise [F(03B6m): F], nous montrons que la propriété de descente n'est plus vraie en général (Théorème 2). ABSTRACT. Let p be a prime number. A finite Galois extension N/F of a number field F with group G has a normal p-integral basis (p-NIB for short) when O'N is free of rank one over the group ring O'F[G]. Here, O'F = OF[1/p] is the ring of p-integers of F. Let m = pe be a power of p and N/F a cyclic extension of degree m. When 03B6m ~ Fx, we give a necessary and sufficient condition for N/F to have a p-NIB (Theorem 3). When 03B6m ~ F and p ~ [F(03B6m) : F], we show that N/F has a p-NIB if and only if N(03B6m)/F(03B6m) has a p-NIB (Theorem 1). When p divides [F(03B6m) : F], we show that this descent property does not hold in general (Theorem 2).

Relative Galois module structure of rings of integers of absolutely abelian number fields

“…We can now deduce a theorem that is essentially the same as a result of Kersten and Michaliček ([KM89], Theorem 2.1). Also see [Gre92] and [Ich05].…”