On the structure of the Galois group of the Abelian closure of a number field

Gras, Georges

doi:10.5802/jtnb.883

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“…{L3= [110,170,161,38,14];d1=component(L3,1);d2=component(L3,2); d3=component(L3,3);d4=component(L3,4);d5=component(L3,5);T=0; for(e1=0,1,for(e2=0,1,for(e3=0,1,for(e4=0, From this table, we deduce that the 3-class group of K is isomorphic to (Z/9 Z) 3 × (Z/3 Z) 6 and that the 3-Hilbert class field of K is contained in the compositum of the 16 independent Z 3 -extensions of K distinct from the cyclotomic one (i.e., the compositum of the 16 "anti-cyclotomic" ones).…”

Section: Direct Verificationsmentioning

confidence: 99%

On p-rationality of number fields. Applications – PARI/GP programs

Gras¹

2019

Publications Mathématiques De Besançon. Algèbre Et Théorie Des Nombres

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Let K be a number field. We prove that its ray class group modulo p 2 (resp. 8) if p > 2 (resp. p = 2) characterizes its p-rationality. Then we give two short, very fast PARI Programs ( § § 3.1, 3.2) testing if K (defined by an irreducible monic polynomial) is p-rational or not. For quadratic fields we verify some densities related to Cohen-Lenstra-Martinet ones and analyse Greenberg's conjecture on the existence of p-rational fields with Galois groups (Z/2Z) t needed for the construction of some Galois representations with open image. We give examples for p = 3, t = 5 and t = 6 ( § § 5.1, 5.2) and illustrate other approaches (Pitoun-Varescon, Barbulescu-Ray). We conclude about the existence of imaginary quadratic fields, p-rational for all p ≥ 2 (Angelakis-Stevenhagen on the concept of "minimal absolute abelian Galois group") which may enlighten a conjecture of p-rationality (Hajir-Maire) giving large Iwasawa µ-invariants of some uniform pro-p-groups.

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Section: Direct Verificationsmentioning

confidence: 99%

On p-rationality of number fields. Applications – PARI/GP programs

Gras¹

2019

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“…-Le p-groupe de torsion T K joue un rôle capital dans toutes les questions de type théorie du corps de classes et plus précisement de type théorie de la p-ramification abélienne dans la mesure où il met en jeu de façon subtile le p-groupe des classes C K et le régulateur p-adique des unités R K , sous la conjecture de Leopoldt ; il est lié au groupe de Galois G K de la pro-p-extension p-ramifiée (non complexifiée si p = 2) maximale de K via une relation de dualité de la forme T * K H 2 (G K , Z p ). Il a été longuement étudié selon la chronologie approximative suivante : [Kub] (1957), [Mi] (1978), [Gr2] (1982), [Gr3] (1983), [Ja1] (1983), [Ja2] (1984), [Gr4] (1985), [Gr5] (1986), [Ng1] (1986), [MoNg1] (1987), [He] (1988), [Ja3] (1990), [Th] (1993), [Ja4] (1998), [Seo1] (2011), [Seo2] (2013), [Seo3] (2013), [Gr6] (2014), [MoNg2] (2015), [Gr7] (2015), [Seo4] (2015), [Seo5] (2015), [Seo6] (2015), [Gre] (2015), [HM2] (2016).…”

Section: Historique De La P-ramificationunclassified

“…(iv) obtention de résultats numériques sur le radical initial, sur le groupe T K , et sur la structure de Gal(K ab /K) où K ab est la pro-p-extension abélienne maximale de K ( [Cha], [He], [PV], [Th], [AS], [Gr6]) ; (v) analyse d'aspects conjecturaux lorsque p → ∞ (e.g. [Gr7] conjecturant la p-rationalité de tout corps de nombres pour p assez grand).…”

Section: Historique De La P-ramificationunclassified

“…Historique de la p-ramification. Les p-groupes de torsion T jouent un rôle capital dans toutes les questions de type Théorie du Corps de Classes et plus précisement Théorie de la p-Ramification Abélienne, et ont été longuement étudiés, sous la conjecture de Leopoldt, selon la chronologie approximative suivante : [Kub] (1957), [Mi] (1978), [Gr2] (1982), [Gr3] (1983), [Ja1] (1983), [Ja2] (1984), [Gr4] (1985), [Gr5] (1986), [Ng1] (1986), [MoNg1] (1987), [He] (1988), [Ja3] (1990), [Th] (1993), [Ja4] (1998), [Seo1] (2011), [Seo2] (2013), [Seo3] (2013), [Gr6] (2014), [MoNg2] (2015), [Gr7] (2015), [Seo4] (2015), [Seo5] (2015), [Seo6] (2015).…”

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Sur le module de Bertrandias–Payan dans une p-extension – Noyau de capitulation

Gras¹

2016

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Sur le module de Bertrandias-Payan dans une p-extension-Noyau de capitulation 2016, p. 25-44. © Presses universitaires de Franche-Comté, 2016, tous droits réservés. L'accès aux articles de la revue « Publications mathématiques de Besançon » (http://pmb.cedram.org/), implique l'accord avec les conditions générales d'utilisation (http://pmb.cedram.org/legal/). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d'une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright.

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“…. Dans ce cas, pour tout p assez grand, |T p | a même valuation p-adique que le régulateur normalisé du corps K, p 1) , où ε est une unité de Minkowski fixée (voir [Gr1], § III.2.6.5, [Gr2], § 3, pour des compléments sur ces questions). Alors la Conjecture 7.8 est reformulée par la conjecture suivante (au moins pour les corps réels, toute partie T − p éventuelle étant triviale dès que p est assez grand) :…”

Section: On Pose αunclassified

Notion de $θ$-régulateurs d'un nombre algébrique. Conjectures p-adiques

Gras

2014

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LES θ-RÉGULATEURS LOCAUX D'UN NOMBRE ALGÉBRIQUE CONJECTURES p-ADIQUES par Georges GrasRésumé.-Soit K/Q une extension Galoisienne finie de degré n, de groupe de Galois G, et soit η ∈ K × . Pour tout p premier assez grand (étranger à n, Disc(K), et η), nous définissons, par utilisation du théorème de Frobenius sur les déterminants de groupes, la famille ∆ θ p (η) ∈ Fp θ des θ-régulateurs locaux de η, indexée par les caractères Qp -irréductibles θ de G.A chaque ∆ θ p (η) est associée une représentation linéaireest le p-quotient de Fermat de η. Lorsque η est une "unité de Minkowski" (pour K réel), chaque ∆ θ p (η), θ = 1, donne le résidu modulo p de la θ-composante Reg θ p (η) dans la factorisation θ =1 (Reg θ p (η)) ϕ(1) de p 1−n Reg p (K), où Reg p (K) est le régulateur p-adique classique de K.Nous suggérons, à partir d'une propriété générale des déterminants de groupes et de l'existence de la représentation L θ , que la "probabilité" de nullité de ∆ θ p (η) avec L θ ≃ δ V θ est en O(1) p f δ 2 (cf. §4.3.2), où f est le degré résiduel de p dans le corps des valeurs des caractères ϕ | θ, et que les ∆ θ p (η) sont des variables indépendantes. Nous conjecturons alors que p 1−n Reg p (K), qui mesure l'ordre du p-groupe de torsion en p-ramification Abélienne au-dessus de K, est pour p assez grand une unité p-adique sauf peut-être pour un ensemble de nombres premiers p de densité nulle. Pour ces cas dits "de p-divisibilité minimale p ϕ(1) " (i.e., un unique ∆ θ p (η), tel que δ = f = 1, est nul), il reste possible, η étant alors une "puissance p-ième locale partielle" en p, de proposer, en lien avec la conjecture ABC, une conjecture plus forte aboutissant à la même conclusion pour tout p assez grand (Section 7). D'autres aspects conjecturaux sur le quotient de Fermat sont discutés.Nous précisons et vérifions ces propriétés par des études numériques portant sur des corps cubiques et quintiques cycliques et sur un corps non Abélien (groupe D6), et publions les programmes "PARI" correspondants.

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On the structure of the Galois group of the Abelian closure of a number field

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