On the Wiener Norm of Subsets of ℤ p of Medium Size

Abstract

We give a lower bound for Wiener norm of characteristic function of subsets

Structure theorems in additive combinatorics

“…Совсем недавно обнаружилось, что данный подход может быть полезен и в задачах теории функций [76]- [80]. На этом мы заканчиваем список приложений теоремы Сандерса-Конягина.…”

“…раздел 4). Примерами такого использования являются задачи о множествах без арифметических прогрессий [8], [9], проблемы, связанные с суммами произведений [107], вопросы теории функций [80], [108] и многие другие.…”

“…Хорошо известно, что даже для d = 3 норма Гауэрса не выражается через коэффициенты Фурье функции и, следовательно, аналог формулы (81) не имеет места. Тем не менее ответить на основной вопрос этого раздела, сформулированный после(80), можно и в этой, более сложной, ситуации. Первым результатом, обобщающим неравенство (82) для d > 2, была следующая теорема Гауэрса[9] (случай…”

Lower bounds for the Wiener norm in $\mathbb{Z}_p^d$

“…In the work of Green and Konyagin [GK] and in several subsequent papers [Sand1], [KS1], [KS2], [Sch], [Sand2] a discrete analog of the Littlewood conjecture (for the case of group Z p ) has been studied. We need some basic definitions (see, for example, [TV], Chapter 4).…”

“…It is convenient for us to formulate Theorem 3 in such a "conditional" form, in order to not depend on the best known results in one-dimensional case. Moreover, as was mentioned before, for various classes of functions various bounds are known: for instance, in [Sand2] integer-valued functions are studied, whereas in [KS1] and [KS2] indicators functions are learned, and this paper we consider functions which take values in the set {z ∈ C : |z| 1}.…”