On Two-Temperature Problem for Harmonic Crystals

Abstract

We consider the dynamics of a harmonic crystal in d dimensions with n components, d, n \ 1. The initial date is a random function with finite mean density of the energy which also satisfies a Rosenblatt-or Ibragimov-Linnik-type mixing condition. The random function is translation-invariant in x 1 ,..., x d − 1 and converges to different translation-invariant processes as x d Q ± ., with the distributions m ± . We study the distribution m t of the solution at time t ¥ R. The main result is the convergence of m t to a Gaussian translation-invariant measure as t Q .. The proof is based on the long time asymptotics of the Green function and on Bernstein's ''room-corridor'' argument. The application to the case of the Gibbs measures m ± =g ± with two different temperatures T ± is given. Limiting mean energy current density is − (0,..., 0, C(T + − T − )) with some positive constant C > 0 what corresponds to Second Law.

Вывод Гидродинамических Уравнений Для Решетчатых Систем

“…Доказательство опирается на метод "вырезания критических точек" [1], [15], [16] и технику из работы [5], где результат доказан в случае d = n = 1. Заметим, что в работе [5] налагается более сильное условие на матрицу V , чем условия E3, E4.…”

“…Для рассматриваемой модели такая сходимость была доказана в ра-ботах [15], [16]. Кратко сформулируем данный результат.…”

О сходимости к равновесию для волновых уравнений в $\mathbb R^n$ с нечетным $n\geqslant 3$

“…Для волнового уравнения в R 3 сходимость (3) была доказана в [2], для гармониче-ских кристаллов -в [3] и для уравнения Клейна-Гордона -в [4].…”

Аналитическое Описание Переходных Тепловых Процессов В Гармонических Кристаллах

“…Важно отметить, что при выводе уравнений для ковариаций не используется никаких предположений о функции распре-деления. Вопросы, связанные с поведением функции рас-пределения при переходе к равновесию, обсуждаются, например, в работах [20][21][22]. Корреляционный анализ применялся для описания тепловых процессов в гармонических кристаллах в ра-ботах [16][17][18][19].…”

“…Точки совершают линейные колеба-ния. Такая математическая модель часто используется в литературе для описания тепловых процессов в твердых телах [16][17][18][19][20][21][22][23][24]. В принципе уравнения динамики гармо-нического кристалла могут быть решены аналитически.…”