On uniformization of Burnside’s curve y2=x5−x

Abstract

Main objects of uniformization of the curve y 2 = x 5 − x are studied: its Burnside's parametrization, corresponding Schwarz's equation, and accessory parameters. As a result we obtain the first examples of solvable Fuchsian equations on torus and exhibit number-theoretic integer q-series for uniformizing functions, relevant modular forms, and analytic series for holomorphic Abelian integrals. A conjecture of Whittaker for hyperelliptic curves and its hypergeometric reducibility are discussed. We also consider the conversion between Burnside's and Whittaker's uniformizations.

Solving the polynomial equations by algorithms of power geometry

“…Если g = 2, то кривая всегда является гиперэллиптической (см. примеры в [8][9][10][11][12][13][14]), но при g > 2 существуют не гиперэллиптические кривые [15, гл. 7].…”

“…Для произвольной кривой f (x 1 , x 2 ) = 0 известна только теорема о существовании её глобальной униформизации x 1 = ϕ(t), x 2 = ψ(t), но нет аналитического алгоритма ее вычисления. К настоящему времени при g > 1 явные униформизации известны только для кривых, имеющих достаточно большую группу симметрий, т. е. бирациональных автоморфизмов [8][9][10]. Более того, даже для гиперэллиптических кривых такая униформизация находится преимущественно в случаях наличия дополнительных симметрий [8][9][10][11][12].…”

“…К настоящему времени при g > 1 явные униформизации известны только для кривых, имеющих достаточно большую группу симметрий, т. е. бирациональных автоморфизмов [8][9][10]. Более того, даже для гиперэллиптических кривых такая униформизация находится преимущественно в случаях наличия дополнительных симметрий [8][9][10][11][12]. В [18,19] предложен алгоритм униформизации алгебраической кривой с помощью радикалов.…”

ON A GENERALIZATION OF WIRTINGER^|^rsquo;S INTEGRAL

“…We have the following equalities thanks to the infinite product expansion formulas of theta functions: (1 − e 2πib q n+a ) 2 .…”

“…Our construction gives new and non-trivial examples of systems of Fuchsian differential equations on nonrational algebraic curves whose solutions are explicitly described. (Other examples can be found in [1,2] and references therein.) It is a theme for future research to carry out calculations of the connection matrices and monodromy matrices, and characterize them among non-rigid local systems.…”