On Weyl-type Solutions of Differential Systems with a Singularity. The Case of Discontinuous Potential

Reconstruction formula for differential systems with a singularity

“…This fact and also some properties of the Weyl -type solutions were established in works [14], [17], in particular, the following asymtotics for ρ → ∞ was obtained:…”

Constructive solution of scattering inverse problem for systems of ordinary differential equations with singularities

“…q k (x) + ν k x n−k y (k) = λy исследовались в работах [5][6][7][8] и др., однако используемый в указанных публикациях метод налагает существенные ограничения на поведение коэффициентов при x → 0. В настоящей работе применяется подход, предложенный ранее в [9] для уравнений с регулярными коэффициентами на оси и обобщенный на случай систем вида (1) в работах [10,11]. Дальнейшее развитие упомянутого подхода позволяет исследовать обратную задачу в более общем случае, не предполагающем специального поведения коэффициента (будем называть его потенциалом) q(x) при x → 0.…”

“…Поскольку матрица v(q, ρ) − v 0 (ρ) диагональна для любых q, ρ, достаточно рассмотреть диагональные элементы. Воспользовавшись теоремами 3, 4 из [11], получим 5), (6) вытекает требуемое.…”

“…В контексте решения обратной задачи рассеяния мы будем рассматривать полученное соотношение как линейное уравнение относительно функции P (x, •) (для каждого фиксированного x > 0, выступающего как параметр); величина V (x, ρ), также входящая в соотношение (12), может быть найдена по явной формуле (11) исходя из известных данных рассеяния v(ρ). Для построения и обоснования конструктивной процедуры решения обратной задачи рассмотрим (12) как уравнение в L 2 (Σ) и установим его корректную разрешимость для каждого фиксированного x > 0.…”

“…2) Для произвольного потенциала q(•) ∈ G p 0 рассмотрим сходящуюся к q по норме X p последовательность потенциалов {q m (•)} m 1 , таких, что для каждого из q m (•) выполнены условия теоремы 1 работы [12]. Из теоремы 1 [11] следует, что множество G p 0 открыто в X p , поэтому, не ограничивая общности, можно считать, что все q m (•) ∈ G p 0 . Тогда по доказанному в п.…”