On δ-derivations of Lie algebras and superalgebras

Abstract

Witt algebra Current Lie algebra Non-semigroup grading Grassmann envelope We study δ-derivations -a construction simultaneously generalizing derivations and centroid. First, we compute δ-derivations of current Lie algebras and of modular Zassenhaus algebra. This enables us to provide examples of Lie algebras having 1 2 -derivations which are divisors of zero, thus answering negatively a question of Filippov. Second, we note that δ-derivations allow, in some circumstances, to construct examples of non-semigroup gradings of Lie algebras, in addition to the recent ones discovered by Elduque. Third, we note that utilizing the construction of the Grassmann envelope allows to obtain results about δ-(super)derivations of Lie superalgebras from the corresponding results about Lie algebras. In this way, we prove that prime Lie superalgebras do not possess nontrivial δ-(super)derivations, generalizing the recent result of Kaygorodov.

Commutative 2-cocycles on Lie algebras

“…The 3-dimensional algebra sl(2) and the Zassenhaus algebra are characterized among simple finitedimensional Lie algebras in various interesting ways: these are algebras having a subalgebra of codimension 1, algebras having a solvable maximal subalgebra (see [S,Corollary 9.1.0]), algebras with certain properties of the lattice of subalgebras (see, for example, [BTW] and references therein), algebras having non-trivial δ-derivations [Zu4,§2], etc. Corollary 2.5 adds another characterization to this list.…”

O $\delta$-супердифференцированиях полупростых конечномерных йордановых супералгебр

“…В дальнейшем -дифференцирования йор-дановых алгебр и супералгебр, а также простых супералгебр Ли рассматривались Кайгородовым в работах [6]- [9]; -супердифференцирования супералгебр йордано-вой скобки рассматривались Кайгородовым и Желябиным в работе [10]; Зусманович рассматривал -супердифференцирования первичных супералгебр Ли в [11]. Отме-тим, что в [12] сделан подробный обзор, посвященный изучению -дифференциро-ваний и -супердифференцирований.…”

О $(n+1)$-арных дифференцированиях полупростых алгебр Филиппова

“…В свое время -дифференцирования изучались в работах [1]- [14], где были описаны -дифференцирования первичных лиевых алгебр [1], [2], первичных альтернативных и мальцевских алгебр [3], простых и первичных лиевых супералгебр [6], [7], [4], полу-простых конечномерных йордановых алгебр и супералгебр [5], [7], [8], [10], полупро-стых структуризуемых алгебр [13], алгебр Филиппова малых размерностей и про-стых конечномерных алгебр Филиппова [11], а также простой тернарной алгебры Мальцева 8 [11]. В частности, были построены примеры нетривиальных -диффе-ренцирований для некоторых алгебр Ли [2], [4], [12], простых йордановых суперал-гебр [8], [10] и -арных алгебр Филиппова размерности + 1 (см.…”

“…В частности, были построены примеры нетривиальных -диффе-ренцирований для некоторых алгебр Ли [2], [4], [12], простых йордановых суперал-гебр [8], [10] и -арных алгебр Филиппова размерности + 1 (см. [11]).…”