Optimal Evolution Time Generated by Pseudo-Hermitian Hamiltonian

Abstract

Если заданы начальное состояние $|\psi_{\scriptscriptstyle\mathrm I}\rangle$ и конечное состояние $|\psi_{\scriptscriptstyle\mathrm{F}}\rangle$, то существует множество гамильтонианов, под действием которых $|\psi_{\scriptscriptstyle\mathrm I}\rangle$ эволюционирует в $|\psi_{\scriptscriptstyle\mathrm F}\rangle$. При этом большой интерес представляет проблема перехода $|\psi_{\scriptscriptstyle\mathrm I}\rangle$ в $|\psi_{\scriptscriptstyle \mathrm F}\rangle$ за наименьшее время. Ранее для эрмитова гамильтониана было показано, что если состояния $|\psi_{\scriptscriptstyle\mathrm I}\rangle$ и $|\psi_{\scriptscriptstyle\mathrm F}\rangle$ ортогональны, то существует оптимальное время эволюции. Однако для $PT$-симметричного гамильтониана это время может быть произвольно малым, что кажется удивительным. Обсуждается оптимальная временна́я эволюция для псевдоэрмитовых гамильтонианов. При условии ограниченности гамильтониана получена нижняя граница времени эволюции. Оптимальное время эволюции может быть достигнуто в том случае, когда два квантовых состояния ортогональны относительно некоторого скалярного произведения. Результаты для эрмитовых и для псевдоэрмитовых случаев совпадают, если эволюция унитарна относительно некоторого корректно определенного скалярного произведения. Также проанализированы два ранее известных примера и обнаружено, что они согласуются с представленной теорией. Кроме того, на двух примерах даны некоторые пояснения полученных результатов.