Если заданы начальное состояние $|\psi_{\scriptscriptstyle\mathrm I}\rangle$ и конечное состояние $|\psi_{\scriptscriptstyle\mathrm{F}}\rangle$, то существует множество гамильтонианов, под действием которых $|\psi_{\scriptscriptstyle\mathrm I}\rangle$ эволюционирует в $|\psi_{\scriptscriptstyle\mathrm F}\rangle$. При этом большой интерес представляет проблема перехода $|\psi_{\scriptscriptstyle\mathrm I}\rangle$ в $|\psi_{\scriptscriptstyle \mathrm F}\rangle$ за наименьшее время. Ранее для эрмитова гамильтониана было показано, что если состояния $|\psi_{\scriptscriptstyle\mathrm I}\rangle$ и $|\psi_{\scriptscriptstyle\mathrm F}\rangle$ ортогональны, то существует оптимальное время эволюции. Однако для $PT$-симметричного гамильтониана это время может быть произвольно малым, что кажется удивительным. Обсуждается оптимальная временна́я эволюция для псевдоэрмитовых гамильтонианов. При условии ограниченности гамильтониана получена нижняя граница времени эволюции. Оптимальное время эволюции может быть достигнуто в том случае, когда два квантовых состояния ортогональны относительно некоторого скалярного произведения. Результаты для эрмитовых и для псевдоэрмитовых случаев совпадают, если эволюция унитарна относительно некоторого корректно определенного скалярного произведения. Также проанализированы два ранее известных примера и обнаружено, что они согласуются с представленной теорией. Кроме того, на двух примерах даны некоторые пояснения полученных результатов.

Обсуждается адиабатическое приближение эволюции квантовой системы, порожденной $A$-равномерно псевдоэрмитовым гамильтонианом $H(t)$. Он представляет собой зависящий от времени оператор, выражающийся через зависящий от времени эрмитов гамильтониан $G(t)$ с помощью не зависящего от времени обратимого оператора $A$. С использованием связи между решениями уравнений эволюции для $H(t)$ и $G(t)$ доказано, что $H(t)$ и $H^{\dagger}(t)$ имеют одни и те же действительные собственные значения, а соответствующие собственные векторы образуют биортогональные базисы Рисса в пространстве состояний. Для адиабатического приближенного решения в случае минимального собственного значения и основного состояния оператора $H(t)$ доказано, что это решение в каждый момент времени совпадает с состоянием системы тогда и только тогда, когда вектор основного состояния не зависит от времени. Также найдены оценки сверху для ошибки адиабатического приближения в терминах нормы разности состояний и в терминах обобщенной степени совпадения. Полученные результаты проиллюстрированы в нескольких примерах.