P-Funktionale und Randwerte zu Hypoelliptischen Differentialoperatoren

Langenbruch, Michael

doi:10.1007/bf01420493

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“…When doing so we will profit a lot of Bengel's point of view of hyperfunctions (i.e. considering harmonic functionals instead of analytic functionals (see [2], [54] and also [35,36])). Moreover, we will constantly use the Grothendieck-Tillmann-duality of harmonic functionals and harmonic functions explained in the previous section (see Theorem 5.2).…”

Section: ]) §6 the Duality Methodsmentioning

confidence: 99%

“…Then both approaches are translated to the boundary value approach for harmonic (Section 6) and holomorphic functions (Section 7). We will profit a lot from Bengel's point of view, i.e., considering harmonic functionals instead of analytic functionals, which lead to a special case of P-functionals of Bengel (see [2], [54] and also [35]). We explain this identification in Section 5.…”

Section: The Existence Of E-valued Hyperfunctions Is Intimately Connementioning

confidence: 99%

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Vector Valued Hyperfunctions and Boundary Values of Vector Valued Harmonic and Holomorphic Functions

Domański¹,

Langenbruch²

2008

Publ. Res. Inst. Math. Sci.

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We develop the theory of hyperfunctions with values in a locally convex nonnecessarily metrizable space E and find necessary conditions and sufficient conditions such that a reasonable theory of E-valued hyperfunctions exists. In particular, we show that it exists for various spaces of distributions but there is no such theory for the spaces of real analytic functions and distributions with compact support. We also show that vector valued hyperfunctions can be interpreted as boundary values of vector valued harmonic or holomorphic functions and, in many cases, as suitable cohomology groups.

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Section: ]) §6 the Duality Methodsmentioning

confidence: 99%

Section: The Existence Of E-valued Hyperfunctions Is Intimately Connementioning

confidence: 99%

Vector Valued Hyperfunctions and Boundary Values of Vector Valued Harmonic and Holomorphic Functions

Domański¹,

Langenbruch²

2008

Publ. Res. Inst. Math. Sci.

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“…This research is continued by several authors like Bolley et al [1], Zanghirati [22][23][24] and Bouzar and Chaili [3]. Langenbruch utilized generalized Gevrey classes in connection with different problems, like boundary values of zero solutions of hypoelliptic differential operators [12,13], diametral dimension of solution spaces [14] and isomorphic classification [15].…”

Section: Introductionmentioning

confidence: 99%

Iterates and Hypoellipticity of Partial Differential Operators on Non-Quasianalytic Classes

Juan-Huguet

2010

Integr. Equ. Oper. Theory

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Let P be a linear partial differential operator with constant coefficients. For a weight function ω and an open subset Ω of R N , the class E P,{ω} (Ω) of Roumieu type involving the successive iterates of the operator P is considered. The completeness of this space is characterized in terms of the hypoellipticity of P . Results of Komatsu and Newberger-Zielezny are extended. Moreover, for weights ω satisfying a certain growth condition, this class coincides with a class of ultradifferentiable functions if and only if P is elliptic. These results remain true in the Beurling case E P,(ω) (Ω).Mathematics Subject Classification (2010). 35B65, 35H10, 46F05, 47F05.

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“…

…”

unclassified

Fortsetzung von Randwerten zu hypoelliptischen Differentialoperatoren und partielle Differentialgleichungen.

1979

Journal Für Die Reine Und Angewandte Mathematik (Crelles Journal)

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Die vorliegende Arbeit setzt die in [10] begonnene Untersuchung der formalen Randwerte von Nullösungen hypoelliptischer Differentialoperatoren fort. Für die betrachtete Garbe wurden dort zwei äquivalente Definitionen gegeben, die als Garbe der f P-Funktionale bzw. Garbe der Randwerte zu P bezeichnet wurden, entsprechend der Konstruktion der Hyperfunktionen nach Martineau bzw. Sato ([10], Abschnitt l und 2). Hierbei konnte die Verwendung von Kohomologietheorie vermieden werden.Die Randwerte zu hypoelliptischen Differentialoperatoren umfassen Garben von recht unterschiedlichem Typus: Die Randwerte zu elliptischen Operatoren sind isomorph zu einem kartesischen Produkt von Hyperfunktionen, während sich die Randwerte zu gewissen semielliptischen Operatoren mit einem kartesischen Produkt von Ultradistributionen des Typs {a pa } identifizieren lassen. Im ersten Fall ist die Randwertgarbe also welk, während im zweiten Fall die Einschränkung R^? 0 der Randwerte auf R* auf eine offene Teilmenge o von /R" für kein o surjektiv ist.In der vorliegenden Arbeit wird nun zunächst die Frage der Surjektivität der Einschränkung R/pn 0 untersucht. R^n f0 ist genau dann surjektiv, wenn (IR n + 1 \IR n ) u o P-konvex ist. Hiervon ausgehend lassen sich hinreichende Kriterien dafür angeben, daß keine Einschränkungsabbildung surjektiv ist bzw. daß jeder Punkt zumindest eine Umgebungsbasis offener Mengen {o t } besitzt, für die K p » f0t surjektiv ist. Die Definition der P-Funktionale läßt sich in diesem Fall vereinfachen, da jeder Randwert von o auf IR n so fortsetzbar ist, daß der Träger der Fortsetzung eine Teilmenge von ö ist, falls R p n f0 surjektiv ist.Im nächsten Abschnitt werden diejenigen Ultradistributionen charakterisiert, die sich als Randwerte zu einem gegebenen Differentialoperator darstellen lassen. Für Distributionen ergibt sich eine enge Beziehung zwischen formalem und distributionellem Randwert (2. 5.).Es lassen sich nun leicht das Weylsche Lemma und einige Existenzaussagen für partielle Differentialgleichungen im Bereich der Randwerte beweisen, die entsprechende Aussagen in gewissen Ultradistributionsklassen nach sich ziehen.1. Wir verwenden im folgenden dieselben Bezeichnungen wie in [10]. Insbesondere ist P immer ein hypoelliptisches Polynom auf R n+1 9 P (D) der zugeh rige Differentialoperator. Die Punkte des IR n+i werden in der Form (x, t) geschrieben mit xe!R n m und telR 1 . P habe die Form P(x, /)= Σ Qk( x ) tk mit ^ = GradP. P* ist also eine Jfc=0 bzgl. P nicht charakteristische Hyperebene. O (bzw. o) bezeichnet immer offene Teilmengen des IR n+1 (bzw. IR n ) und N die nichtnegativen ganzen Zahlen. U(o):= {OalR n+1 \O n IR n = o, O offen} und Ist OeU(o) P-konvex, so ist der Quotient RW(o,P):=C?(O\o)/Cj?(O) der Raum der (formalen) Randwerte zu P auf o. Wir unterscheiden im folgenden meist nicht zwischen der Funktion /e Cp (O \ o) und ihrem Randwert (d.h. der zugeh rigen quivalenzklasse). Die Restriktionen R 02 Oi : RW(o 2 , P)-^RW(o l9 P), o 2 =>o l9 sind durch die Einschr nkung der definierenden Funktionen defi...

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P-Funktionale und Randwerte zu Hypoelliptischen Differentialoperatoren

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Vector Valued Hyperfunctions and Boundary Values of Vector Valued Harmonic and Holomorphic Functions

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Fortsetzung von Randwerten zu hypoelliptischen Differentialoperatoren und partielle Differentialgleichungen.

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