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Die Einfiihrung verallgemeinerter Funktionen ist ein wichtiges Hilfsmittel in der Theorie partieller Differentialgleichungen. So ist die Theorie der Distributionen (oder gewisser Teilrfi.ume der Distributionen) grundlegend fiJr eine umfassende Untersuchang der partiellen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten ([4, 14]). Eine noch gr63ere Klasse verallgemeinerter Funktionen, die ebenfalls zu vielf~iltigen neuen Ergebnissen gefiihrt hat, sind die 1959/60 yon H. Sato eingefiJhrten Hyperfunktionen ([12]). Die m-fache Kopie der Hyperfunktionen auf IR" wurde yon Bengel ([ll) mit den Randwerten auf IR, der Nullt~sungen eines (beliebigen) elliptischen Differentialoperators P(D) (auf IR "+ l) mit konstanten Koeffizienten identifiziert, d.h. mit dem Quotientenraum "+ a .... + Ce (R \lR )/C e (IR ), wobei C:~(O) die unendlich oft differenzierbaren L6sungen f der Gleichung P(D)f = 0 bezeichnet. Dies erm~Sglicht emen sehr einfachen Beweis des Weylschen Lemmas fiJr elliptische Differentialoperatoren im Bereich der Hyperfunktionen ([1], Satz 11). In der vorliegenden Arbeit werden nun die formalen Randwerte der Null6sungen eines hypoelliptischen Differentialoperators P(D) mit konstanten Koeffizienten untersucht. Hierbei sind wie im Fall der Hyperfunktionen zwei tiquivalente Vorgehensweisen m6glich. Zun~ichst wird (analog einer Einftihrung der Hyperfunktionen dutch Martineau in [113]) die Garbe der P-Funktionale definiert (die Bezeichnung geht auf Bengel in [13 zuriick). Im 2. Abschnitt werden die (formalen) Randwerte der Nullt%ungen yon P(D) definiert und die Isomorphie der entstehenden Garbe zu den ~P-Funktionalen gezeigt. Sodann werden einige aquivalente Charakterisierungen der Polynome P gegeben, die gleichstark mit (de(~)) °'~dP sind, wobei dA~) der Abstand yon ~ EtR "+ l zur (komplexen) Nullstellenmenge yon P(O ist. Insbesondere wird diese Bedingung von allen semielliptischen Polynomen erRillt. Sie ist grundlegend f'tir die Un tersuchungen im 4. und 5. Abschnitt. Hier wird die Isomorphie der P~-Funktiohate (bzw. Randwerte zu P~) ftir gleJchstarke Polynome P~ (i = 1, 2) gezeigt und eine ,,verallgemeinerte Gevrey-Klasse" yon Funktionen angegeben, die auf Teilmengen des IR" definiert sind und die Theorie der P-Funktionale (auf ~") eindeutig bestimmen. Dies entspricht genau dem Zusammenhang zwischen holomorphen und reellanalytischen Funktionen in der Theorie der Hyperfunktionen auf nL Fi.ir die , /

We develop an elementary theory of Fourier and Laplace transformations for exponentially decreasing hyperfunctions. Since any hyperfunction can be extended to an exponentially decreasing hyperfunction, this provides simple notions of asymptotic Fourier and Laplace transformations for hyperfunctions, improving the existing models. This is used to prove criteria for the uniqueness and solvability of the abstract Cauchy problem in Fréchet spaces.

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