Phase locking of two limit cycle oscillators with delay coupling

Abstract

Mutual phase locking in the system of two limit cycle oscillators with delay coupling is studied. Conditions of phase locking are derived as a result of analysis of a generalized Adler equation. The analytical results are compared with numerical simulation. Depending on the phase shift of the coupling signal propagating between the two oscillators, either in-phase or anti-phase mode of synchronization may arise. The number of possible modes of synchronization increases with the delay time.

Bifurcation analysis of mutual synchronization of two oscillators coupled with delay

“…Как известно, картина синхронизации в системах с запаздыванием имеет много специфических особенностей по сравнению с системами с малым числом степеней свободы (см., например, [8]). В частности, в работе [9] исследовалась синхронизация простой модели двух осцилляторов с предельным циклом, связанных с задержкой. Как известно, в подоб-ной системе можно выделить два основных типа связи: диссипативную (диффузионную) и инерционную (реактивную) [10,11].…”

“…Эти случаи отличаются устройством областей синхро-низации в пространстве параметров, в которых синхронный режим является устойчивым, причем при инерционной связи режим синхронизации становится бистабильным: возможна синхронизация как на синфазной, так и на противофазной моде. В [9] было обнаружено, что в зависимости от набега фазы сигнала в канале связи доминирует либо диссипативная связь, либо инерционная. Поскольку набег фазы определяется временем распространения сигнала между генераторами, характер связи и, соответственно, устройство областей синхронизации может сильно меняться при смещении генераторов на расстояние порядка длины волны.…”

“…Однако анализ, проведенный в [9], ограничивался фазовым приближением, которое справедливо в случае слабой связи и при слабой расстройке собственных частот генера-торов. В этом случае синхронизация наступает в результате седло-узловой бифуркации (такой механизм обычно называют частотным или фазовым захватом [2][3][4][5]).…”

“…В этом случае синхронизация наступает в результате седло-узловой бифуркации (такой механизм обычно называют частотным или фазовым захватом [2][3][4][5]). Однако приве-денные в [9] результаты численного моделирования показали, что при увеличении расстрой-ки синхронизация наступает в результате другого механизма, известного как подавление собственных колебаний одного из генераторов [2][3][4][5]. При этом имеет место бифуркация Ан-дронова -Хопфа.…”

“…В работе [9] была введена в рассмотрение модель двух связанных генераторов с запаз-дыванием в цепи связи, которая описывается уравнениями с запаздывающим аргументом для медленно меняющихся амплитуд колебаний A 1,2 :…”