Polynomials with all zeros on the unit circle

Lakatos, Piroska; Losonczi, László

doi:10.1007/s10474-009-9028-7

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“…So one of natural questions is what kind of reciprocal polynomials have all zeros on the unit circle. This question raised the attention of many polynomialists, e.g., in [2,3,5,[7][8][9][10]12]. In 1922, Cohn [3] found a necessary and sufficient condition under which all the zeros of a reciprocal polynomial have moduli 1.…”

Section: Introduction and Main Resultsmentioning

confidence: 99%

Reciprocal polynomials with all zeros on the unit circle

Kwon

2011

Acta Math Hung

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Section: Introduction and Main Resultsmentioning

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Reciprocal polynomials with all zeros on the unit circle

Kwon

2011

Acta Math Hung

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“…Our proofs follow from applying the theorems of Schinzel [13], Lakatos and Losonczi [9], and Lakatos [8]. Lakatos proved that any reciprocal polynomial k j=0 A j z j , with real-valued coefficients, which satisfies…”

Section: S K (Z) Y K (Z) and The Theorems Of Schinzel Lakatos And Lmentioning

confidence: 99%

“…Equation (10) is a very strong restriction. There have been a number of recent improvements to (10) with a similar flavor (see [13] and [9]). Schinzel proved that any self-inversive polynomial which satisfies…”

Section: S K (Z) Y K (Z) and The Theorems Of Schinzel Lakatos And Lmentioning

confidence: 99%

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Concerning dense subideals in commutative Banach algebras

Żelazko¹

2013

Funct. Approx. Comment. Math.

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Abstract. We observe that five polynomial families have all of their zeros on the unit circle. We prove the statements explicitly for four of the polynomial families. The polynomials have coefficients which involve Bernoulli numbers, Euler numbers, and the odd values of the Riemann zeta function. These polynomials are closely related to the Ramanujan polynomials, which were recently introduced by Murty, Smyth and Wang [10]. Our proofs rely upon theorems of Schinzel [13], and Lakatos and Losonczi [9] and some generalizations.

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“…Pesquisas recentes (ver [3,4]) estabelecem condições para que todos os zeros de um polinômio palindrômico estejam localizados em |z| = 1.…”

Section: Introductionunclassified

Zeros de polinômios palindrômicos de grau ímpar

Pereira¹,

Botta²

2015

Proceeding Series of the Brazilian Society of Computational and Applied Mathematics

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RESUMOSeja P (z) = a 0 + a 1 z + ... + a n z n um polinômio de grau n, n ≥ 1, a i ∈ R, i = 0, ..., n. Então Pé palindrômico se a i = a n−i , para todo i = 0, 1, ..., n. O comportamento dos zeros dos polinômios palindrômicos, além de ser um interessante tópico a ser estudado, tem muitas aplicações em algumasáreas da Matemática [2,6]. Tais zeros possuem algumas propriedades especiais, como a simetria tanto em relaçãoà reta real quanto ao círculo unitário, por exemplo.Atualmente, um tema que está atraindo a atenção de alguns matemáticos está relacionadò a quantidade de zeros que um polinômio palindrômico possui no círculo unitário. Pesquisas recentes (ver [3,4]) estabelecem condições para que todos os zeros de um polinômio palindrômico estejam localizados em |z| = 1.Com base nos estudos de [3], apresentaremos, neste trabalho, condições necessárias e suficientes para que os zeros do polinômio palindrômico R(z) = 1 + λ(z + z 2 + ... + z n−1 ) + z n , com λ ∈ R e nímpar, estejam localizados no círculo unitário, ou seja, na região |z| = 1. Tais condições estão representadas no teorema abaixo, que será o foco principal deste trabalho, onde maiores detalhes podem ser encontrados em [1].Teorema 1: Os zeros do polinômio R(z) = 1 + λ(z + z 2 + ... + z n−1 ) + z n , λ ∈ R, de grau n > 1 ımpar, estão sobre o círculo unitário se, e somente se,Para exemplificar, seja o polinômio R(z) = 1+λ z + z 2 + z 3 + z 4 + z 5 . Através do Teorema 1, segue que os zeros de R(z) encontram-se em |z| = 1 se, e somente se, − 1 2 ≤ λ ≤ 5 2 . A Figura 1 mostra a localização dos zeros de R(z) quando λ = 9.5 4 . Podemos observar que os zeros de R(z) encontram-se em |z| = 1, pois para λ = 9.5 4é satisfeita a condição do teorema. Já no caso da Figura 2, podemos observar que nem todos os zeros de R(z) = 1 + 3 z + z 2 + z 3 + z 4 + z 5 encontram-se em |z| = 1, pois a condição estabelecida através do Teorema 1 nãoé satisfeita.

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Reciprocal polynomials with all zeros on the unit circle

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