Quantitative Helly-Type Theorem for the Diameter of Convex Sets

Abstract

We provide a new quantitative version of Helly's theorem: there exists an absolute constant α > 1 with the following property: if {Pi : i ∈ I} is a finite family of convex bodies in R n with int i∈I Pi = ∅, then there exist z ∈ R n , s αn and i1, . . . is ∈ I such thatwhere c > 0 is an absolute constant. This directly gives a version of the "quantitative" diameter theorem of Bárány, Katchalski and Pach, with a polynomial dependence on the dimension. In the symmetric case the bound O(n 3/2 ) can be improved to O( √ n).

Helly-type theorems for the diameter

“…For the conjecture above, the best lower bound on diam(∩F) is O(d −3/2 ) [14], due to Brazitikos. This is the first polynomial bound on the diameter of the intersection since the original paper by Bárány, Katchalski and Pach.…”

Random approximation and the vertex index of convex bodies

“…A generalization of Barvinok's lemma was recently obtained by the first named author in [7]: There exists an absolute constant α > 1 with the following property: if K is a convex body whose minimal volume ellipsoid is the Euclidean unit ball, then there exist N αn points x 1 , . .…”

“…The proof involves a more delicate theorem of Srivastava from [21]. Using (1.3) one can establish the following "quantitative diameter version" of Helly's theorem (see [7]): If {P i : i ∈ I} is a finite family of convex bodies in R n with diam i∈I P i = 1, then there exist s αn and i 1 , . .…”

Πιθανοθεωρητικές Μέθοδοι Στην Κυρτή Γεωμετρική Ανάλυση

“…Μια γενίκευση του παραπάνω αποτελέσματος αποδείχθηκε πρόσφατα από τον Σ. Μπραζιτίκο στο [30]: υπάρχει απόλυτη σταθερά α > 1 με την ακόλουθη ιδιότητα: αν K είναι ένα κυρτό σώμα του οποίου το ελλειψοειδές ελαχίστου όγκου είναι η μοναδιαία Ευκλείδεια μπάλα, τότε υπάρχουν…”

“…Για την απόδειξη χρησιμοποιείται, στη θέση του θεωρήματος των Batson, Spielman και Srivastava, ένα πιο λεπτό θεώρημα του Srivastava από το [96]. Η (5.1.3) αποδείχτηκε στο [30] με στόχο το ακόλουθο ποσοτικό θεώρημα τύπου Helly για τη διάμετρο:…”