Quantum supersymmetric Toda–mKdV hierarchies

Abstract

In this paper we generalize the quantization procedure of Toda-mKdV hierarchies to the case of arbitrary affine (super)algebras. The quantum analogue of the monodromy matrix, related to the universal R-matrix with the lower Borel subalgebra represented by the corresponding vertex operators is introduced. The auxiliary Loperators satisfying RTT-relation are constructed and the quantum integrability condition is obtained. General approach is illustrated by means of two important examples.

Квантование $N=2$ Суперсимметричной Иерархии КдФ

“…Существует еще один (канонический) L-оператор, также соответствующий N = 2 СУСИ-КдФ-модели, связанный с супералгеброй sl (1) (2 | 2) [6]. Квантование этой реализации, соответствующей более высокому рангу, может быть осуществлено посредством процедуры, намеченной в [2], [3], и ничего нового по сравнению с [1]- [3] не добавляет, более того, теория представлений соответствующей супералгебры sl (1) (2 | 2) достаточно сложна как в классическом, так и в квантовом случае. Предъявленная форма L-оператора, соответствующая более низкому рангу, позволяет работать с более простой теорией представлений супералгебры sl (1) (2 | 1) и, кроме того, дает возможность увидеть новые интересные аспекты формализма квантования.…”

“…с вершинными операторами редуцируются к полным производным; дальнейшие рассуждения полностью повторяют аргументацию работы [3] (см. часть 4), где в случае стандартных иерархий Дринфельда-Соколова было показано (следуя [12]), что оператор суперсимметрии коммутирует со следом матрицы монодромии, если система простых корней является чисто фермионной (при этом условие нечетности системы простых корней гарантирует, что коммутаторы генератора суперсимметрии с соответствующими вертекс-операторами являются полными производными).…”

“…В предыдущих работах [1]- [3] мы рассматривали квантование иерархий Дринфельда-Соколова, связанных с аффинными алгебрами, в соответствии с подходом, предложенным в [4] для обычной sl(2)-модели КдФ. В этой статье мы расширяем этот подход для нестандартных иерархий КдФ, связанных с аффинными супералгебрами sl (1) (m + 1 | m).…”

“…Мы доказываем, что, как в "стандартном" случае, все члены, соответствующие составным корням, исчезают из первой итерации квантового обобщения P-экспоненты; кроме того, мы показываем, что эта квантовая P-экспонента совпадает с редуцированной универсальной R-матрицей, связанной с квантовой супералгеброй sl q (2 | 1) (см. разделы 3,4). Мы также доказываем, что суперследы квантовой версии матрицы монодромии, так называемые трансферматрицы (по очевидной аналогии с решеточным случаем), коммутируют с генераторами суперсимметрии.…”

Integrability of Superconformal Field Theory and SUSY N=1 KdV

“…Using the super q-oscillator representations of the upper Borel subalgebra of the quantum affine superalgebra C q (2) (2) we define the Q ± operators (see [4] for details). The transfer-matrices in different evaluation representations can be expressed in such a way:…”