Quasi-actions on trees I. Bounded valence

Abstract

Given a bounded valence, bushy tree T , we prove that any cobounded quasi-action of a group G on T is quasiconjugate to an action of G on another bounded valence, bushy tree T . This theorem has many applications: quasi-isometric rigidity for fundamental groups of finite, bushy graphs of coarse PD(n) groups for each fixed n; a generalization to actions on Cantor sets of Sullivan's theorem about uniformly quasiconformal actions on the 2-sphere; and a characterization of locally compact topological groups which contain a virtually free group as a cocompact lattice. Finally, we give the first examples of two finitely generated groups which are quasi-isometric and yet which cannot act on the same proper geodesic metric space, properly discontinuously and cocompactly by isometries.

The word and geodesic problems in free solvable groups

“…On the other hand there are interesting classes of solvable nonpolycyclic groups that are quasi-isometrically rigid, for example, solvable Baumslag-Solitar groups (Farb and Mosher [19,20]). We refer to the papers [42] and [18] for some recent results in this area.…”

Проблема Каждана - Мильмана Для Полупростых Компактных Групп Ли

“…Элементы f, g ∈ QI(X) называются грубо эквивалентными, если функ-ция x → d X (f (x), g(x)), x ∈ X, ограничена, и пусть [f ] -класс грубой эк-вивалентности элемента f ∈ QI(X). Композиция классов грубой эквивалент-ности определена корректно и превращает множество классов грубой эквива-лентности в группу квазиизометрий QI(X) на метрическом пространстве X. Квазидействием группы G на метрическом пространстве X называется такое отображение A : G → QI(X), g → A g , что для некоторых K 1 и C 0 любое отображение A g является (K, C)-квазиизометрией, d X (A Id (x), x) C для всех x ∈ X и d X ((A g • A g )(x), A gg (x)) C для любых g, g ∈ G и для всех x ∈ X. Эти определения приводят к далеко идущим обобщениям "теории возмущений" для представлений и действий и в [103], [104] приводят к содержательным ре-зультатам о действиях на деревьях и модельных геометриях. Представляет интерес возможность обобщения приведенных здесь результатов на случай по-лугрупп (в том числе удовлетворяющих условиям типа конечности, см.…”

Actions of certain arithmetic groups on Gromov hyperbolic spaces

“…Briefly, the equivalence relation is that generated by coarsely equivariant quasi-isometric embeddings. This equivalence is coarser than that given by quasi-conjugacy (as in for instance Mosher, Sageev and Whyte [23]), but finer than that given by equivariant homeomorphism of limit sets. In this paper we concentrate on cases in which the set of equivalence classes is particularly simple.…”