Quasi-free divisors and duality

Abstract

We prove a duality theorem for some logarithmic D-modules associated with a class of divisors. We also give some results for the locally quasi-homogeneous case.Diviseurs quasi-libres et dualité. On montre un théorème de dualité pour certains D-modules logarithmiques associés à une classe de diviseurs. On donne aussi quelques résultats dans le cas localement quasi-homogène. Version française abrégéeDans [13] Saito a développé la théorie des diviseurs libres dans X = C n . Rappelons qu'un diviseur D ⊂ X est libre si le faisceau des champs de vecteurs logarithmiques relativement à D, noté Der(− log D), est localement libre en tant que faisceau de modules sur O, le faisceau structural de X. D'autre part, une forme méromorphe ω ∈ Ω p ( D) à poles le long de D est dite logarithmique si f ω et df ∧ ω sont formes holomorphes pour une (ou pour toute) équation locale réduite f de D. On définit comme cela un complexe Ω • (log D) des formes logarithmiques par rapport à D et une inclusion i D : Ω • (log D) → Ω • ( D). La classification des diviseurs D tels que i D est un quasi-isomorphisme est un problème ouvert. D'après le théorème de comparaison de Grothendieck les complexes Ω • ( D) et Rj * (C) sont quasi-isomorphes, ici j : X \D → X est l'inclusion ; ainsi, si i D est un quasiisomorphisme on dira simplement que D vérifie le théorème de comparaison logarithmique (ou que D vérifie le TCL). Le résultat central de [6] est que si D ⊂ X est un diviseur libre et localement quasi-homogène alors D vérifie le TCL. Une réciproque de ce résultat est démontrée dans [4] pour la dimension 2.

LOGARITHMIC COMPARISON THEOREM AND D-MODULES: AN OVERVIEW

“…A key point in the proofs of Theorems 2.3 and 2.1 is the relationship between the duals of any integral logarithmic connection over the base ring D X and V D 0 (D X ) (see [11]; [8], §3). In particular, the holonomic D X -modules…”

“…The differential viewpoint above is relevant since it was not at all clear that for a free divisor, LCT(D) needs the condition B(h D ); in particular, every locally weighted homogeneous free divisor D satisfies the condition B(h D ) at any point (Theorem 1.6 with Theorem 2.3 or Proposition 3.1, or more directly [11], Theorem 5.2). Moreover, from the inclusions…”

Dualité et comparaison pour les complexes de de Rham logarithmiques par rapport aux diviseurs libres

“…4.2), ainsi qu'une preuve différentielle de ce théorème dans le cas des diviseurs libres localement quasi-homogènes, qui avaitété démontré dans [7] par une voie topologique. Cette preuve s'appuie dans des arguments de [8] et répondà la conjectureénoncéeà la page 94 de loc. cit.…”

“…En utilisant le corollaire 4.2 et l'argument de [8], th. 5.2 et lemme 5.3, nous allons donner une nouvelle preuve différentielle non topologique du théorème de comparaison logarithmique pour les diviseurs libres localement quasi-homogènes.…”

“…3.1.2). L'existence d'un tel théorème aété motivée par les travaux [12] (appendice) et [27], [8]. D'un point de vue technique, le résultat précédent utilise une formule d'associativité pour des produits tensoriels mixtes sur deux algèbres enveloppantes emboîtées que nous n'avons pas trouvé dans la littérature (voir th.…”